L'ÉDIFICE INTUITIONNISTE

introduire la dishinction rigoureuse (*) lorsque le complémentaire (par rapport au continu virtuellement ordonné) de l'intervalle ouvert (4 b) (c’est-à-dire des points de l’intervalle fermé «a b distincts de a et de b) peut se dissicier en deux parties (c’est-à-dire est la réunion de deux parties disjointes) dont l’une est telle que ses éléments sont £ « et £ b et l’autre telle que ses éléments sont za et Z 0.

Comme on le voit le développement transformé de la théorie classique des ensembles de points exige à côté de la notion constructive d'ensemble l'intervention d’une autre notion, celle de système ou sperres, propriété d'objets mathématiques déjà donnés par une construction (la définition de la species à la différence de celle de l’ensemble n’engendre pas ses éléments) : tels sont les intervalles, leurs complémentaires, leurs parties. Une species est à son tour un objet mathématique : d’où la possibilité de superposer des species de species, etc. — Une partie des résultats de CANTOR et de ses continuateurs sont retrouvés ; la théorie abstraite des ensembles par contre disparaît presque entièrement, de même que la théorie des ensembles analytiques, de la mesure au sens L'EBESGUE, etc... — Pour le reste des mathématiques méthodes et notions sont profondément transformées. Il est incorrect, remarque HEYTING, de se demander ce qui, des mathématiques classiques, subsiste dans l’intuitionnisme car « 1l n’est pas vrai que celui-c1 ne soit qu’une partie de celles-]à : d’une part l’intuitionnisme dédouble les notions classiques de sorte qu’une théorie classique se sépare en différentes théories parallèles, d'autre part il substitue aux notions classiques d’autres notions d’une nature tout à fait différente et quelquefois en forge ne correspondant pas à des notions déterminées des mathématiques classiques. La mathématique nouvelle pourra se développer .. en un

(1) BROUWER (VIII), p. 10.