LA MATHÉMATIQUE CLASSIQUE

tout aussi imposant et harmonieux que l’ancienne mais elle sera d’une nature toute différente » (1).

Tel est le résultat, à première vue au moins, surprenant de cet effort pour éliminer les paradoxes par restitution du spécifiquement mathématique. Au lieu de fonder l'édifice donné, BROUWER en construit un autre à côté. Mais quels que soient la hardiesse et l'intérêt de l’entreprise, on comprend la répugnance de la majorité des mathématiciens : il y a dans le « tout imposant et harmonieux » de la mathématique traditionnelle des méthodes dont la fécondité a subi mainte épreuve, des notions dont le sens — quoique rejeté pour les brouwériens — ne semble pas résulter de la convergence accidentelle de malentendus. Avant que le sacrifice en soit admis tous les moyens de sauvegarde doivent être essayés, à commencer par la transformation d’une logique insuffisante sous sa forme primitive. Aussi bien est-ce le développement même de la technique qui l’exige : l’apparition et l’importance croissante de la méthode axiomatique élaborée au xix® siècle en quelque sorte sous la contrainte des problèmes pose en termes nouveaux la question du rapport entre logique et mathématique. Ouoiqu’une axiomatique n'ait pour lui de sens que dans la mesure où se trouve effectivement construit un système d'objets entre lesquels sont vérifiées les relations qu’elle pose, BROUWER ne peut refuser à la nouvelle méthode une «valeur heuristique », pas plus d’ailleurs que la justifier dans sa doctrine. — C’est au contraire d’une réflexion approfondie sur les raisons de sa fécondité — dont il fit un des premiers la découverte — que HILBERT est parti pour l'élaboration de son système formaliste. Pour lui, comme pour les logicistes, la notion de démonstration prend un sens original que ne pouvait soupconner KANT et qui échappe à son dilemme, parce qu'il en est séparé par toute l'épaisseur des formalisations sponta-

(1) HEYTING (V), p. 10-11.