LA MATHÉMATIQUE CLASSIQUE

nées effectuées au cours du xix® siècle. Dans la ligne de leur enchaînement, hilbertisme et logicisme prennent leur aspect véritable : si tout doit être sauvé dans le développement conceptuel des mathématiques — où les mathématiciens sont tentés de voir sous l’accidentel historique un devenir objectif — leur raison d’être est d'essayer à la fois d'en continuer le mouvement et d’en justifier les résultats.

CHAPELREA

Axiomatisations et formalisations au XIX° siècle.

De Gauss et Bolzano à Russell et Hilbert.

La double crise de rigueur du début du xix® siècle provoque une remise en question des principes et des notions fondamentales de la géométrie et de l’analyse. L'utilisation plus poussée des nombres complexes et des séries infinies porte les premières atteintes à la notion naïve d’évidence. D'abord par les paradoxes attachés aux instruments euxmêmes : L. BRUNSCHVICG analyse (!) en détail les difficultés qui ont retardé l’incorporation du nombre imaginaire au système des représentations mathématiques ; 1l fallait que « l'équation & — — 1... participe par quelque biais à la vérité dont les opérations sur les nombres réels ont paru susceptibles » (?). Or, ici «l'évidence rationnelle et l’évidence sensible font également défaut » ; de même pour les séries infinies qu’une assimilation trop hâtive faisait traiter comme des sommes finies : sans l’absolue convergence pas de commutativité entre les termes, sans la convergence uniforme pour les séries entières pas de possibilité d'intégrer terme à terme. Ce qui va de soi n’est donc plus critère du véritable, l’esprit doit contamment se défier de son geste

(1) L. BrRuNsCHVICG (I), p. 542-550 : La notion d’imaginaire. (2) Ibid, p. 543.

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spontané : or, il ne s’agit pas d’un domaine artificiel, juxtaposé provisoirement par la technique aux mathématiques réelles, fondées sur l’intuition. Ce sont ensuite les résultats obtenus grâce aux nouveaux instruments qui amènent à transformer tout le système mathématique : modèles non euclidiens et géométrie projective construits à l’aide des nombres complexes, théorie des fonctions arbitraires représentées pat les séries trigonométriques. La fécondité est l'instance devant laquelle tout refus au nom de l'évidence s'avère préjugé : les mathématiques réelles initiales ne sont plus qu’un cas particulier situé au sein des mathématiques nouvelles, expliqué par elles. Mais où se trouve maintenant le critère de certitude ? seul un exemple a pu montrer à CaucxY qu’il n’avait pas le droit d'intégrer toujours terme à terme une série; pour prévenir ces expériences, une réédification logique rigoureuse apparaissait le seul remède. Dès 1810 BoLZzANoO se proposait de jeter les bases d’une nouvelle logique comme Contribution à une représentation bien jondée des mathématiques (). Aux savants de son temps KASTNER, CLAIRAUT, LAGRANGE qui font appel à l'intuition géométrique (?) et ne se préoccupent que de créer la conviction, 1l oppose EWCLIDE et ses prédécesseurs. « Qui la lecture des Eléments, L. T, Prop. 5, a-t-elle rendu plus certain que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux ? (*) » Le but de la science est différent : « dans le système de tous les jugements vrais règne une connexion objective indépendante du fait contingent que nous la connaissons subjectivement ; c’est par elle que certains juge-

(1) «Mathématique est une science qui traite des lois universelles (formes) d’après lesquelles les choses doivent se disposer dans leur être... [ou] lois des conditions de leur possibilité. » BOLZANO (I), p. 17.

(2) À propos du théorème fondamental de l’analyse. Bozzano (II), p. 5. Nous étudions la démonstration de BoLzANo, elle-même non rigoureuse, in CAVAILLÈS (LIT), p. 11-13.

(3) BozzaNo (I), p. 32.

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ments sont le fondement des autres » (:}. Pour manifester ces relations de dépendance objective — c’est-à-dire démontrer — il importe de recenser les notions simples irréductibles et les principes premiers. De ceux-ci, définis comme relations entre des concepts simples, l’indémonstrabilité doit être à son tour « non démontrée mais déduite. partie essentielle du travail scientifique » (2). Fonder les mathématiques est donc à la fois isoler les principes et décrire les modes d’enchaînement logiques, programme pour lequel BorzANO manquait d'instruments — il essaye, de façon assez curieuse, de déborder le cadre du syllogisme (*) — mais que ses successeurs devaient réaliser. Deux tendances apparaissent en effet qui se juxtaposeront au long du xix® siècle et agiront, l’une plutôt sur l’analyse, l’autre sur la géométrie. La première critique la logique, la ramène à un formalisme : si les habitudes mêmes de pensée doivent ètre abandonnées, le substitut de l’évidence intuitive sera cette évidence sensible particulière que constitue l’aperception des symboles. Les opérations intellectuelles effectives sont remplacées par un jeu mécanique dans lequel on a confiance parce qu’on en a donné une fois pour toutes les règles. Ainsi la mathématique puisqu'elle n’est qu’enchaîneinents de raisons (et non plus d’intuitions) s'incorporera à une logique formelle élargie : l’aboutissement est le logicisme des systèmes de FREGE et de DEDE- KIND, continués par RUSSELL. La seconde au contraire laisse intact le raisonnement logique traditionnel : ce qui importe est l'analyse des notions et des principes initiaux, exactement recensés et à partir desquels il suffit ensuite de déduire correctement ; elle provoque toute l'exploration

(1) Tbid., p. 31.

(2) Zbid., p. 56.

(3) Il distingue, par exemple, le schéma : « À est B et À est C entraîne A est B et C » ou encore « À contient M et la réunion de À et B est possible entraîne la réunion de À et B contient M » (1bid., p. 44).

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abstraite de la représentation spatiale, de GAUSS à RIE- MANN, aboutit à l’axiomatisation de PASCH, à celle perfectionnée des Grundlugen de HILBERT. Ainsi s’élabore, dans l'épreuve même de son efficacité, la méthode axiomatique. Enfin, au confluent, le système de HILBERT, le formalisme proprement dit.

Le recours aux symboles est exigé par l'extension des opérations : si l’addition ordinaire possède l'évidence immédiate que lui reconnaît KANT, il faudra pour définir des espèces diverses d’additions ne plus procéder que par maniement de signes suivant des règles. Or, il faut élargir le calcul. Puisque les objets ne déterminent pas, dans une intuition désormais impossible, leur mode d'emploi spécifique, ils ne seront que des supports pour un certain traitement : la certitude de leur connaissance — et son contenu — ne peuvent provenir que de l’exact enchaînement des opérations qui leur conviennent. Donc, autant de calculs que de théories mathématiques et un calcul général qui les subsume tous et qui ne peut être qu’une théorie formelle des opérations. Ainsi, au début de l’Ausdehnungslehre, GRASSMANN rejette l'usage de la géométrie analytique : ce serait bien une méthode pour dérouler abstraitement la géométrie, mais non exactement adaptée à son objet. Il faut abandonner cette « malencontreuse habitude d'introduire des coordonnés arbitraires qui n’ont rien à voir avec la question et obscurcissent les idées : le calcul devient un développement mécanique de formules étranger et mortel à l’esprit » (:). Or, si la formalisation donne un mécanisme, elle n’a d’intérêt et de raison d’être qu’autant qu’elle fait apparaître les liaisons véritables constitutives de la théorie, ce doit être au sens BorzANo une Begründunsg : elle est le seul sens de la théorie. Dans le calcul géométrique par exemple « non seulement les formules dissymétriques et compliquées... deviennent

(1) GRASSMANN (I), t. I, 1, p. o.