LE CALCUL GÉNÉRAL

symétriques et très simples, mais... tout progrès d’une formule à une autre apparaît immédiatement comme l’expression symboiïique d’un enchaînement parallèle de concepts ».

Pour le calcul général on sait que les propriétés formelles de l'addition et de la multiplication — commutativité, distributivité, etc. — étaient déjà l’objet des travaux de l’école algébriste de Cambridge (PEAcocKk, de MORGAN...) et les quaternions de HAMILTON donnaient occasion d’utiliser effectivement les variations imaginées dans leurs lois. Le mérite de GRASSMANN est d’avoir atteint du premier coup à la iois l’abstraction la plus complète et les applications les plus étendues. Addition, comme multiplication ne sont plus que deux opérations « synthétiques » (HANKEL dit thétiques) dont les propriétés sont déterminables arbitrairement suivant le rapport que l’on veut établir entre elles et avec les opérations inverses — ou analytiques (lytiques, pour HANKEL) : si l’on exige l’univocité du résultat obtenu par la superposition de deux espèces synthétiques distinctes, 1l faudra poser la distributivité de la seconde par rapport à la première, la commutativité de la première. Commutativité, associativité, d’ailleurs, valent pour un nombre quelconque de termes, aussitôt qu’on les a démontrées pour trois. Ce sont là des considérations de simple combinatoire, dont GRASSMANN, et surtout HANKEL, affirment la pureté formelle c’est-à-dire l'indépendance par rapport à la « substance des objets » (). Le symbolisme, qui garantit aux opérations représentation distincte et superposition compliquée, passe au premier plan : «un nombre [formel] est l'expression de certaines relations formelles que des objets arbitraires ont entre eux ; un système de nombres représente une suite systématiquement ordonnée de telles relations ou liaisons » (?).

(1) HANKEL (1), p. 1.