LE CALCUL GÉNÉRAL

Reste à définir un processus de diversification grâce auquel s’ordonnent et parfois s’engendrent les calculs particuliers. HANKEL, après PEACOCK, formule le principe de permanence des lois formelles : « si deux formes exprimées en signes généraux de l’arithmetica universalis sont égales entre elles, elles doivent aussi rester égales lorsque les signes cessent de désigner des grandeurs simples et lorsque, par suite, les opérations reçoivent un autre contenu réel » (1). Mais il n’y a là qu’une règle négative dont, aussi bien, l’autorité ne peut être absolue. Les lois formelles, si elles étaient toutes conservées, ne laisseraient qu’un calcul ; on les conserve ou modifie suivant l'intérêt pratique d’une théorie déjà en train : la multiplication ne sera pas commutative pour le produit extérieur de deux vecteurs (c’est-à-dire le produit vectoriel, aire du parallélogramme construit sur eux, affectée d’un signe déterminé par le sens de rotation dans le plan), elle le sera pour leur produit intérieur (produit scalaire, produit de la longueur d’un des vecteurs par celle de la projection de l’autre sur lui) ; dans le premier cas également, il faut abandonner l'exigence qu’un produit ne s’annule que lorsqu'un des facteurs est nul : suppression de l'univocité du résultat. — Des complications peuvent aussi être introduites par la considération simultanée de plusieurs espèces de signes ou unités obéissant chacun à ses lois propres. Ainsi un nombre complexe le plus général s’écrira :

œ — di + 42 2 de FO sm Xy

(les coefficients 4, étant les nombres ordinaires) et l’on aura, par exemple, autant de sories de multiplications (?) qu’il est possible d'établir d'équations de condition (c’est-à-dire de relations entre les produits) des différentes unités. Par elles, GRASSMANN établit de façon plus simple et plus générale les

(1) HANKEL (I), p. 1.

(2) GRASSMANN (IIT).