LA MATHÉMATIQUE CONCRÈTE SI

résultats obtenus par CAUCHY au moyen de ses «clefs algébriques ». Mais ces abstractions ne sont pourtant que relatives : GRASSMANN se laissait guider par la considération des figures dont il prétendait éviter l’aide intuitive ; le parallélogramme est l’image du produit de deux vecteurs. L'unité, l’homogénéité des différents éléments engendrés par les opérations a pour support les mouvements corrélatifs des objets géométriques : l’addition des segments correspond au déplacement du point les parcourant ; la commutativité est garantie par l’égale possibilité d'atteindre de deux façons différentes l'extrémité de la diagonale. De même, la multiplication est déplacement d’un segment dans le plan. Cette imagination géométrique latente, si elle rassure pour l'unité de l’édifice et maintient une liaison continue avec les objets réellement étudiés, détruit en même temps son caractère abstrait. Il n’y a plus ici développement logique d’un formalisme, mais formalisation d’opérations dont la raison d’être se trouve ailleurs. HANKEL (:) fait nettement la distinction entre « mathématique pure » qui ne connaît ni airiuara ni xotvai évvotar et la théorie des grandeurs où 1l rejette aussi bien l’étude des nombres complexes que celle des nombres irrationnels. Déjà, pour ceux-ci, il est vain de se limiter au symbolisme opératoire : les nombres rationnels suffisent pour l’univocité de résultat des quatre opérations: quant «aux autres problèmes que pose chaque fois l'introduction de nouveaux signes, il faut renoncer à les considérer de façon exhaustive ; on se perdrait dans un immense labyrinthe, s’il fallait se tenir exclusivement au point de vue d’une construction purement formelle des nombres ». L'existence et les propriétés des nombres irrationnels sont basées sur les propriétés du continu linéaire ; « la mise en ordre de nos nombres en une suite continue. enveloppe déjà le concept de grandeur étendue.

(1) HANKEL (Il), p. 56.