LA MATHÉMATIQUE CONCRÈTE

Toute tentative pour traiter les nombres irrationnels formellement et sans le concept de grandeur doit conduire aux artifices les plus abstrus et embarrassés » (*). Il faut donc passer des nombres « formes abstraites de la pensée synthétique du discontinu » (2), à la mathématique concrète où les nombres « expriment des relations actuelles entre des objets », telles que les relations de grandeur « immédiatement données dans l'intuition » (5); de même les nombres complexes ordinaires, et toutes leurs généralisations reçoivent leur définition et leur traitement systématique d’une représentation dans le plan ou sur la sphère.

Mais sur quoi baser cette seconde mathématique et quel critère de vérité lui appliquer ? HANKEL remarque que la théorie des proportions d'EUCLIDE permet de fonder la notion de nombre irrationnel : si une relation est prouvée par des considérations de similitude entre les segments 4, b, c, quelle que soit l’unité dont on les mesure, elle existe également entre les coefficients À, B, C, de cette unité # une fois choisie (arbitrairement, on pose : a = Au, b—Bu,etc...) : les nombres qui la fixent alors seront en général irrationnels. Mais « si la théorie de la similitude perd sa vérité, les relations de grandeur... ne se réduisent plus à des relations numériques.. Or, le cas se présente avec la géométrie transcendentale développée par GAUSS » ({). La juxtaposition des différentes géométries en pleine égalité se trouve donc impossible : il faut que la géométrie euclidienne soit préalable pour fonder le nombre irrationnel et de là le nombre complexe. La façon même dont se superposent ces complications reste obscure comme cette imprécise intuition qui vient faire échec au formalisme intégral. En réalité le point de départ avait été trop ambitieux : au lieu d'étudier d’em-

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blée la notion abstraite d'opération symbolique, qui suppose d’ailleurs plus ou moins cachée celle de nombre entier, le plus simple est de prendre celle-ci comme élément initial inexpliqué et d'étudier de quelle façon s’engendrent à partir d'elle les divers objets mathématiques. C’est évidemment un double renoncement du formalisme : origine admise par pure constatation, description ensuite d’un processus de généralisation que l’on doit également reconnaître d'emblée valable, Mais le renoncement n’est que provisoire : l’analyse critique dégage, aussi bien dans la notion primitive de nombre que dans la nécessité sous-jacente aux généralisations, ce qui constitue l’essence du raisonnement mathématique, et, le dissociant de son aspect historique, pourra le rétablir, grâce au formalisme, dans son authenticité de système rigoureux. Telle est — à ce degré de généralité — la méthode commune à DEDEKIND et aux logicistes stricts FREGE, PEANO, RUSSELL.

En 1854, dans son discours d’habilitation (1), DEDEKIND se demandait à quelle loi obéit le progrès des mathématiques, « les élargissements des définitions ne laissent aucune place à l'arbitraire mais suivent avec une absolue nécessité des définitions primitives si l’on applique le principe que les lois qui découlent de celles-ci et sont caractéristiques des concepts qu’elles introduisent ont une validité universelle » (2). Ce n’est pas le principe de HANKEL qui n’a qu’une valeur «analytique », c’est-à-dire, « dirige mais ne démontre pas ». Ici intervient la nécessité dans un double mouvement : d’une part, l'opération restreinte posée exige, soit en elle-même, soit par son rapport aux opérations déjà existantes, un élargissement du champ des individus sur lesquels elle porte ; d’autre part, dans ce nouveau champ, les relations posées provoquent la substitution d’une nouvelle

(1) DEDEKIND (III), t. III, p. 430.

(2) Zbid., p. 431.

J. CA VAILI ÈS À

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définition à la définition initiale. Ainsi les opérations arithmétiques — et les problèmes qui y sont liés — engendrent les champs des nombres algébriques, réels, complexes ; l'élévation à la puissance n’a plus de signification si l'exposant n’est pas un nombre entier, mais le théorème d’addition des exposants donne une nouvelle définition valable, cette fois, universellement :