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Le choix n’est pas arbitraire : toute définition posée engendre immédiatement les fils de liaison avec le système existant, c’est leur faisceau tout entier qui est, en réalité, pris comme nouvelle définition, que l’on condense seulement au maximum. D'autre part, l'élargissement n’est pas obtenu par une combinaison avec d’autres opérations de la définition primitive : on pourrait le croire, quand il s’agit d’arithmétique ou d’algèbre, mais en analyse, l'intégration, par exemple, définie originairement comme opération inverse de la différentiation, ne se laisse pas ainsi généraliser : il faut concevoir l'intégrale comme limite d’une somme, pour qu'elle apparaisse dans sa véritable signification indépendante, sans perdre pour cela sa relation réciproque avec la différentiation. Quel sens revêt cet engendrement nécessaire de concepts nouveaux — quelle conséquence pour le problème du fondement des mathématiques, DEDEKIND ne l’a jamais explicité : dans la préface à la rre édition de Was sind und was sollen die Zahlen ? 11 rappelle ce discours « dont l'esprit fut approuvé par GAUSS » pour l’opposer à la conception arithmétiste de l’analyse. Après avoir cité le mot de DIRICHLET « que tout théorème d’algèbre ou d’analyse se laisse traduire en un théorème sur les nombres entiers » : «je ne vois rien de méritoire — et c'était aussi loin de la pensée de DIRICHLET — dans l’entreprise effective de cette traduction. Au contraire, les plus grands et les plus fructueux progrès en mathématique ont été le résultat de la création