LA GÉNÉRALISATION

et de l'introduction de nouveaux concepts, après que le retour fréquent de phénomènes complexes y a forcé le savant » (*). De ce dynamisme interne de la mathématique autonome, à défaut de théorie, nous voyons une première représentation dans Séetigkeit und irrationale Zahlen. Le continu numérique ne saurait être expliqué par des images géométriques. D'autre part, le système des nombres rationnels forme « un corps » relativement aux quatre opérations. Mais ils ont une autre propriété, d'importance plus grande pour l'analyse, «ils constituent un domaine bien ordonné et infini dans les deux sens, à une dimension ». Ceci n’est pas une image géométrique, mais la condensation de trois propriétés dont l’énoncé est à la fois la conséquence nécessaire des opérations mathématiques qui ont engendré le système et sa définition exhaustive : ordre, entre deux éléments il y en à une infinité, tout élément divise le système en deux classes dont les individus possèdent la même relation d’ordre par rapport à lui. Mais 1l y a des coupures du système auxquelles ne correspond aucun élément ; intervention de la mathématique en acte : la relation d’ordre entre des carrés et un nombre lui-même non carré. On appellera continuité d’un système possédant déjà les trois premiers caractères, la possibilité pour lui d'établir une correspondance biunivoque entre ses éléments et ses coupures. Définition dont la façon même dont elle est obtenue montre qu’elle satisfait à toutes les exigences de l’analyse : sa nécessité est garante de son caractère exhaustif. Le report à la droite n’est qu’un allègement, il est inutile de chercher pour elle, ni comme signification ni comme fondement, autre chose que la relation mathématique exacte qu’elle explicite (?).

(1) DEDEKkIND (II) in (III), p. 338.

(2) On voit le progrès sur HANKEL qui écrivait en 1867 : « interpoler le nombre irrationnel dans la mathématique pure grâce au concept de limite me paraît entièrement opposé à la nature de la chose parce que justement un tel concept de limite repose sur la représentation du plus grand et du