LOGIQUE ET MATHÉMATIQUE

Ainsi apparaît une espèce nouvelle d’énoncés qui ne doivent rien, ni à l'intuition (comme les définitions de grandeurs pour GRASSMANN et HANKEL), ni à l'expérience et dont pourtant le contenu n’est ni vide ni le résultat de déterminations arbitraires (comme dans la mathématique formelle de HANKEL). L'indépendance et la sûreté qu'ils procurent aux mathématiques ne sont pourtant pas absolues : chaque énoncé est conditionné par une activité mathématique antérieure. Sur quoi repose le système total ? c’est, en somme, la question de Was sind und was sollen die Zahlen ? et la réponse est donnée dès la première page: «l’arithmétique (l'algèbre, l'analyse) n’est qu’une partie de la logique… le concept de nombre est une émanation immédiate des pures lois de l’entendement » (1). Mais il n’est plus question de logique dans la suite, et de véritables logicistes comme FREGE ne s’y sont pas trompés : «il n’y a nulle part chez lui une énumération des lois logiques ou autres sur lesquelles il se fonde. il dit bien que la théorie des nombres est une branche de la logique, mais son livre concourt fort peu à le montrer, car les expressions qu’il emploie : « système », « une chose appartient à une chose », ne sont pas usuelles dans la logique et ne peuvent être ramenées à rien de logique » (?). La solution est de supprimer toute référence à une activité de l’esprit : au lieu de système « objets rassemblés dans l'esprit sous un même point de vue », on parlera de concept ; au lieu d’application (Abbildung), de relation (Beziehung). Les définitions seront les descriptions de classes d'objets déjà donnés : «le nombre cardinal (Anzahl) qui appartient au concept F est l'extension du concept : concept de nombre égal au concept F, si nous nommons un concept F, de nombre égal à un concept G, lorsqu'il est pos-

plus petit et sur la mise en ordre de nos nombres en une suite continue qui enveloppe déjà le concept de grandeur extensive » (HANKEI (I), p. 46).

(1) DEDEKIND (II), p. 335.

(2) FREGE (IT), t. I, p. var.