LE POUVOIR DE CRÉER

sible d'établir une coordination univoque et réciproque » tr coordination uniquement fondée sur des relations logiques. D'où la conséquence immédiate, réalisme, corrélat nécessaire du logicisme : «le mathématicien ne peut pas créer arbitrairement quelque chose, aussi peu que le géographe ; lui aussi doit seulement découvrir ce qui est là et lui donner un nom » (?). Or, c’est justement l'opposé de la pensée de DEDEKIND : les nombres sont bien pour lui, comme ils étaient pour HANKEL — contre qui s’insurge également FREGE — des créations de l'esprit humain : «je conseillerais plutôt, écrit-il à WEBER (°), de ne pas entendre par nombre (cardinal: Anzahl), la classe même, mais quelque chose de nouveau... que l'esprit engendre. Nous sommes de race divine et possédons.. le pouvoir de créer ». Aïnsi, le nombre irrationnel n’est pas la coupure, mais représente quelque chose de nouveau « qui correspond à la coupure et dont je dis qu’il l’engendre ». Cette activité de l’esprit se manifeste dans une seule opération, l’application (Abbildung, c.-à.-d. coordination univoque des éléments d’un système aux éléments d’un autre système) et son itération suivant des schémas de plus en plus compliqués, dont en temps ordinaire nous ne voyons pas les détails, comme en lisant nous passons des lettres, suffit pour édifier toute l’analyse à partir de la simple numération : «que fait-on pour compter? appliquer (abbilden) » (*). Par l'application se définissent les systèmes in finis, la suite des entiers qui est leur intersection commune, et les deux procédés caractéristiques de l’arithmétique : raisonnement d’induction complète et définitions par récurrence. Grâce à eux l’ouvrage donne le développement effectif des premiers éléments de la théorie des nombres. Ce

(TH) EREGE (ll); -p177.

(2) Tbid., p. 108.

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n’est pas une reconstruction — comme l’arithmétisation de KRONECKER, — c’est la théorie elle-même lorsque notre «entendement à marches (Treppenverstand) n’en veut sauter aucun degré . « In Anfang war die Abbildung » (°).

Le recours à l’activité de l'esprit, s’il permet de comprendre le développement imprévisible des mathématiques, lui confère en même temps une rigueur et une intelligibilité parfaites, à condition d’admettre comme claires et distinctes les notions corrélatives de système et d'application. On sait comment le paradoxe de RUSSELL montra en 1903 qu’il y avait là une illusion : la définition de la suite des nombres était en particulier condamnée et DEDEKIND se refusa longtemps à rééditer son ouvrage. L'utilisation des notions naïves de la théorie des ensembles — même précisées comme avait eu soin de le faire DEDEKIND en des énoncés qui ont servi à ZERMELO pour axiomatiser la théorie — a l’inconvénient de fonder les mathématiques sur une partie des mathématiques et justement la moins assurée. Les logicismes se heurtent à la même difficulté malgré le déguisement de systèmes en classes logiques : FREGE reconnaissait en post-scriptum (?) au 2° volume des Grundgesetze que la base de son œuvre — l’axiome 5 dit de compréhension — était ébranlée.

Ils crurent pourtant trouver une assurance dans une formalisation aussi complète que possible. Deux ans après DEDEKIND, PEANO avait présenté dans ses Ayrithmetices brincipia novo methodo exposita un contenu analogue mais entièrement étalé en symboles : les définitions sont empruntées au manuel d’arithmétique de GRASSMANN (*) ; dans les démonstrations, utilisation exclusive de l’induction complète (sans réduction à l’application). L’arithmétique deve-

(x) Lettre inédite à G. CANTOR (manuscrits de Gôttingen). (2) FREGE (Il), t. II, p. 253.

(3) GRASSMANN.