LES ENSEMBLES ANALYTIQUES

sembles mesurables B, il est nécessaire d'admettre les ensembles projectifs comme l’a remarqué avec raison M. H. LEBESGUE » (1). À la suite de LEBESGUE, LUSIN, SIERPINSKI et SOUSLIN ont étudié une première classe plus vaste, les ensembles analytiques dont la parenté avec les ensembles mesurables B est frappante. Ils peuvent être définis comme ensembles des valeurs de fonctions continues non régulières sur l'intervalle fondamental; de nombreuses propriétés sont conservées. Le premier exemple — donné par LEBESGUE — d'ensemble analytique non mesurable B faisait intervenir la totalité de la classe II. Souszin et LUSIN crurent pouvoir s'en passer ; en réalité la définition négative à laquelle ils parvinrent était rigoureusement équivalente à une définition positive où figure la classe IT. Aussi LUSIN propose-t-il de considérer les nouveaux ensembles comme des ensembles mesurables B d'ordre Q (Q étant le premier ordinal transfini supérieur à tous les nombres de la classe IT) dans la classification dérivée de celle de BAIRE. Or, une opération géométrique aussi simple que la projection permet de passer d’un ensemble mesurable B à un ensemble analytique. Bien plus, si on prend le complémentaire et si on projette à nouveau, on obtient une espèce nouvelle, les ensembles projectifs, de propriétés jusqu'ici difficiles à étudier (?).

Ainsi il est impossible d'arrêter la marche en avant de l’analyse classique quelque restreint qu’ait été le point de départ, si l’on ne prend pas soin de définir de nouvelles méthodes. Après les amputations dont il avait montré la nécessité, BOREL s’est borné à de brèves indications pour une reconstruction positive. Les procédés naïfs de l'analyse classique s'opposent directement aux exigences empiristes. LusIN propose d'éliminer « quelques ensembles mesurables B » sans dire comment. Il s’élève aussi contre les opé-

1) 1bad., p. 323.

ci) CF: de tout ceci l'important ouvrage LUSIN (1).