LA GÉOMÉTRIE D'EUCLIDE

bolico logiques » (comme celles où interviennent ensembles et nombres) ne sont que des moyens de décrire des relations qui existent indépendamment d’eux, en soi en quelque sorte, entre objets. Il y a donc à la fois traduction de ce qui est, et commodités pour la traduction : tel l’axiome de réductibilité. Pour le nombre, la définition de FREGE est conservée : propriété de concepts dont l’extension peut être mise en correspondance biunivoque ; aussi n'apparaît il qu’au milieu de l'édifice.

La représentation formelle se préoccupe surtout des modes d’enchaînement quelles que soient les propositions initiales. On conçoit que l’origine de celles-ci, l’exacte investigation des notions et des postulats cachés aient surtout préoccupé les géomètres. Aussi bien EUCLIDE avait-il donné un modèle dont il est curieux que les mathématiciens du xvriIe et du XVIIIe siècle n'aient pas repris l’esprit : peut-être la secousse encore récente de la découverte des nombres irrationnels était-elle responsable de ce besoin critique de recensement, de cette méfiance envers le non explicité. Quelle que soit l'importance de la réussite, le point de vue axiomatique n’est pas encore atteint : d’une part les notions ne sont pas exhaustivement décrites, 1l y a dans les définitions simple renvoi à une intuition sensible supposée — ainsi le point est « ce qui n’a pas de parties », la ligne « longueur sans largeur » —., d'autre part le caractère apodictique d’airipate comme de xotval éyvotat n’est pas mis en doute. Ceci est peut-être la raison pour laquelle l’œuvre critique d'EUCLIDE n'a pas été continuée : on y voyait seulement élégance de présentation ; jusqu’à la fin du xvirre siècle, si l’on s’occu-

et le chapitre de FRAENKEL consacré au problème dn fondement in FRAENKEL (V), p. 254-268.