GAUSS ET RIEMANN 6I

pait du postulat des parallèles, ce n’était que pour le fonder sur les actes. Il s'agissait seulement de s’en passer, comme EUCLIDE avait fait pour ses 28 premières propositions. C’est probablement l’analogie entre les résultats obtenus ainsi, — par exemple pour la mesure de l’aire du triangle — et ceux de la géométrie sphérique qui, suppose DEHN, «conduisit LAMBERT le premier à la conviction qu’une géométrie raisonnable était possible sans axiome des parallèles » (1). Mais il fallait pouvoir y définir les relations de façon abstraite. Comme on l’a déjà vu, le calcul des grandeurs, par suite la géométrie analytique, la définition des groupes de déplacements dépendaient de la théorie des parallèles. Disharmonie logique assez tôt ressentie par les géomètres ; la théorie des parallèles et celle des proportions «duo maculæ in pulcherrimo geometriæ corpore », disait Henry SAVILE en 1621. Il fallut l'intervention des imaginaires pour déduire de la trigonométrie sphérique une trigonométrie qui définisse le groupe des déplacements dans un plan non soumis au 5° postulat. Ainsi une géométrie où la somme des angles du triangle soit plus petite que deux droits apparaît à GAUSS « absolument conséquente » parce qu’il y peut «résoudre analytiquement tout problème jusqu’à la détermination d’une constante qui ne se laisse pas fixer 4 priori » (?) (constante qui, infinie, donne la géométrie euclidienne). Après SCHWEIKART et TAURINUS, BOLYAI et LOBATCHEWSKY déterminent entièrement cette trigonométrie « pseudo-sphérique ». On sait comment les recherches abstraites de RIE- MANN Sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie l’'amènent à retrouver — sans doute indépendamment — les mêmes résultats. RIEMANN seulement s'occupe d'un espace borné pour lequel il suppose : 1° que ses points constituent une multiplicité continue à trois dimensions ; 2° que

(1) M. DEHN (I), p. 192.

(2) L. à TaurINUS, 8 nov. 1824. Ges. W., VIII, p. 187.