LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

dans l’infiniment petit la géométrie euclidienne vaut ; 3° que l’espace est applicable sur lui-même sans modification des longueurs. Trois géométries seulement sont possibles avec cette hypothèse : la géométrie euclidienne ordinaire, la géométrie à courbure positive constante (comprenant la géométrie sur la sphère), la géométrie à courbure négative constante qui coïncide avec celle de BozyaI-Lo- BATCHEWSKY. Ainsi l’unique étude des déplacements représentables analytiquement permet non seulement de retrouver les théorèmes de la géométrie euclidienne, mais encore de l’insérer dans une classification qui la dépasse. Il y a même gain sur BoLvAI-LOBATCHEWSKY puisque l’espace n'est considéré que borné, sans intuition de l'infini. La libération par rapport à l'intuition n'est pourtant pas complète : la géométrie euclidienne est supposée dans l’infiniment petit. — Sans doute BoLYAI et LOBATCHEWSKY n'ontils pas besoin de cette hypothèse, mais ils ne développent qu’une trigonométrie garantie d’ailleurs par la référence à la trigonométrie sphérique assurée par la géométrie euclidienne : ainsi c’est encore par délégation de celle-ci que leur système est valide. On raconte (:) que dans sa vieillesse Bo- LYAI cherchait si par l'application de ses formules à l’espace à trois dimensions, pour des polyèdres par exemple, une contradiction ne pouvait apparaître, tant était essentielle pour lui la garantie de la sphère (pour trois dimensions il devait considérer la géométrie sur une hypersphère). La démonstration véritable de l'indépendance du postulat des parallèles, en même temps qu’une analyse plus aiguë des notions géométriques ne devait être obtenue que par le développement de la géométrie projective, doubie résultat qui, suivant la remarque de DEHN, est assez naturel si l’on considère que les seules propriétés nécessaires pour une théorie des proportions — et par suite pour la définition algébrique des dépla-

(1) STACKEL cité par DEHN (1), p. 200.

LA GÉOMÉTRIE PROJECTIVE 63

cements — sont des propriétés projectives, donc indépendantes du 5° postulat.

Dès 1820, PONCELET distinguait entre propriétés de « situation » (ou graphiques) et propriétés métriques : les premières, invariantes dans la projection, sont ainsi comme décollées de leur support intuitif. KLEIN remarquait qu’au lieu de droites et de plans on pouvait aussi bien parler de lignes et de surfaces. D'autre part, l’abstraction dans les enchaînements était imposée par le principe de dualité ; en 1826, GERGONNE (!) le formulait clairement et développait sur deux colonnes le début de la géométrie : on passait de gauche à droite en échangeant les mots point et plan. Il faut noter, enfin, l'intervention des éléments imaginaires pour achever la libération : points imaginaires du cercle, cercles imaginaires de la sphère. Grâce à eux les relations géométriques deviennent, suivant le mot de CHASLES, « permanentes d’accidentelles qu’elles étaient » (?). Point, droites et figures concrètes ne sont que des cas particuliers de points, droites, figures abstraites, définies uniquement par leurs propriétés, édifiées 1l est vrai sur une complication du concret. Ainsi CAYLEY peut construire à l’intérieur d’un cercle un modèle géométrique abstrait (c’est-à-dire dont les points et droites sont définis à partir des points et droites euclidiens, et où un groupe de collinéations permet de fixer les relations d’angles et de longueur) dont KLEIN montra, en 1871, qu'il satisfaisait à tous les axiomes d'EUCLIDE sauf celui des parallèles (*) : par là se trouvait définitivement justifiée la trigonométrie BoLyaAI-LOBATCHEWSKY. Mais surtout grâce à l'unification des relations sous l'autorité d’une ou de quelques opérations fondamentales pourra être opéré un nouveau recensement des notions : le géomètre