PASCH

introduit celles-ci dans l’ordre de ses besoins pour celles-là — (définition des instruments : faisceaux de droites et de plans). L'énumération des axiomes coïncide avec un plan de travail. Tel est, en particulier, celui de PAscH dans ses Leçons sur la nouvelle géométrie dont il disait « qu’elle présente d’après son origine une opposition, non pas tant à la géométrie des Anciens qu’à la géométrie analytique » (1). On part des axiomes régissant l'incidence et l’ordre des points sur une droite : première relation dont on ait à s’occuper en projetant (et laissée invariante) (deux points déterminent un segment, à l’intérieur d’un segment on peut toujours trouver un point, etc.) De même pour le plan: 3 points déterminent un plan : une droite qui a 2 points dans un plan y est contenue tout entière (axiome omis par EUCLIDE et découvert par GRASSMANN) ; l’axiome de l’ordre plan — dont HILBERT reprendra la formule intacte — : toute droite qui rencontre un côté d’un triangle entre les 2 sommets rencontre aussi de même un des 2 autres côtés, etc... Enfin la congruence caractérisée par ses propriétés indépendamment de la considération d’un déplacement particulier. Importants sont à la fois l’abstraction de la méthode et son fondement philosophique. La mathématique, en tant que science, n’est qu'enchaînement logique ; «le procès des démonstrations doit être partout indépendant du sens des concepts, comme il doit l’être des figures : seules les relations établies dans les principes ou les définitions doivent être prises en considération » (?). Mais ces relations fondamentales ont été empruntées à l’expérience : c’est l’unité de celle ci, la « répétition incessante des observations depuis des temps immémoriaux » (*) qui garantit la possibilité de la géométrie comme science, qui impose également des res-

(Fr) =Pasca:{f}, pr:

(2) Zbid., p. 98.