PASCH

trictions aux hypothèses naïves. L'une féconde : on ne définira des objets que dans le fini, points, segments (ce qui est appréhendable par l'intuition) : l’espace projectif sera reconstitué par l'introduction d'éléments «impropres » (points, droites) définis au moyen de faisceaux, « en soi une réussite mathématique importante » (1). L'autre stérilisante : pour compléter l'œuvre de von STAUDT qui avait trouvé moyen d'éviter le « cercle vicieux qui pour le rapport anharmonique fait mesurer des segments et pour les coordonnées des distances » (?) en attribuant à chaque rapport un nombre, déterminé au moyen de conventions indépendantes de toute considération extrinsèque aux relations projectives. KLEIN a montré qu’un axiome de continuité est indispensable : c’est le théorème central en géométrie projective que la mise en rapport de 3 points d’une droite avec 3 points d’une autre suffit à déterminer entre elles une correspondance projective ; on procédera par construction progressive sur chaque droite du 4€ harmonique à 3 points déjà obtenus. Mais il faut poser pour cela que « le point limite, même s’il est obtenu de cette façon par un procès infini, peut être considéré comme donné dans le fini » (*). Or, « admettre ceci comme principe, serait en désaccord avec nos intuitions fondamentales. Abstraction faite de l’impossibilité pour une observation de s'étendre à une infinité d’objets, notre point de vue nous interdit. d'admettre dans un segment une infinité de points, sans changer le sens du mot point » (*). Avec beaucoup de lucidité, PASCH avait déjà noté que sa position empiriste interdit même une itération indéfinie dans l'application de certains principes fondamentaux : on ne pourra invoquer toujours le principe qu'entre deux points d’un segment il yen a toujours un troisième, ni

(1) HEYTING (IV), p. 60.

(2) PF KrerN”(Il), p.311.

(3) F. KLEIN (1), p. 140.

4) PASCH (I), p. 126.

66 LE CALCUL DESARGUIEN

qu’étant donnés deux points À et B on peut trouve. C tel que B soit entre À et C : il faut que le segment À B ne soit pas trop petit dans le premier cas, trop grand dans le second (1). Pour parachever la géométrie projective,onétendra la notion de point en faisant correspondre à tout nombre réel dans les calculs analytiques qui accompagnent le développement du réseau projectif, «un point mathématique » (?). Aussi bien on peut, dans chaque cas particulier, « assigner un segment à l’intérieur duquel les points nesont plus discernables » (#). Mais c’est aux dépens autant de la précision que de la rigueur logique : « la traduction des figures en nombres et le retour des résultats de calcul aux figures ne peut pas s’effectuer avec la même exactitude » (*). Où est surtout la promesse de ne faire aucun appel à l'intuition dans une géométrie entièrement déductive ? Une axiomatisation à base empirique est vouée à l’échec dès qu’elle aborde le labyrinthe du continu : même dans le cas privilégié des relations « graphiques », il faut supposer effectuée une suite infinie d'opérations, c’est-à-dire calculer de façon qui dépasse l'expérience.

Or, c’est justement en inventant une sorte nouvelle de calcul — qui lui permettrait d'éviter le recours aux nombres — en unifiant la géométrie projective sous la juridiction d’une opération unique, que HILBERT pouvait pousser plus avant la recherche exacte des axiomes et dégager leur véritable signification. Dans une conférence de 1801 à laquelle assistait HILBERT, H. WIENER avait déjà montré l’importance du théorème de DESARGUES sur les triangles perspectifs, et de celui de PASCAL sur les couples de droites : « ils suffisent pour démontrer, sans faire appel à des considérations de continuité ni à un processus infini, le théorème

(X)SPASCH, oc. “cit, p.18.

C)PASCR oc ci, pPAIOT.

(3) PASCH, loc. cit., p. 188.

4) PASCH, loc. cit., p. 200.

LE CALCUL DESARGUIEN 67

fondamental de la géométrie projective et, partant, à développer toute la géométrie projective du plan » (1). Tous les problèmes se ramènent, en effet, à des.questions de «fermeture»: points et droites n’ont plus de signification intuitive,ce sont seulement «des éléments de deux espèces, tels que la liaison de deux éléments d’une espèce donne un élément de la seconde»; la fermeture: réunion de trois éléments d’unemême espèce dans une seule liaison (droites concourantes, points en ligne droite) ; la solution sera toujours une combinaison plus ou moins compliquée des propositions « fermantes » de DESARGUES et PASCAL (?). Les deux questions qui se posent sont alors : 1° de déterminer les réquisits logiques des deux théorèmes : rapports entre eux, rapports avec les modes de définition, déjà employés, des objets géométriques (axiomes déjà isolés) ; 2° de préciser les raisons profondes de leur efficacité et jusqu'où elle s'étend. Plus significative que les Grundlagen est à cet égard la 1'€ rédaction (*) du cours de 1898-09 dont sortit le livre. Les théorèmes de DESARGUES et

(x) H. WIENER (I), p. 47.

(2) Le théorème de DESARGUES s’énonce : si 2 triangles ABC, A’B’C’ sont tels que les droites joignant 2 à 2 leurs sommets soient concourantes (4 4’, BB’, CC’), les points d’intersection des côtés mis ainsi en correspondance sont en ligne droite (fig. 2).

Eric 2: Pic 0:

Le cas particulier considéré du théorème de PASCAL : lorsque dans un plan les’points À, B, C sont sur une droite, de même A’ B’ C’ sur une autre (et non sur les 2 à la fois), les points d’intersection M de AB’ et BA’, N de AC’ et CA’ et P de BC’ et CB’ sont en ligne droite (fig. 3).

(3) Cours rédigé par H. v. SCHAPER (WINTER SEMESTER 1898-1899).

HiLBERT (II).

68 LE CALCUL DESARGUIEN

de PAscaL sont de « purs théorèmes d’intersection » : ils doivent donc être indépendants du groupe de déplacement de la géométrie euclidienne, défini par les axiomes de congruence (?). Mais on n’évite les nombres — ou la con-

(2) HILBERT, dès la 1re rédaction du cours, distingue 5 groupes d'axiomes (dont l'énoncé a varié entre les rééditions successives : nous prenons ceux de la dernière) :

I) Ceux de l'incidence définissant les liaisons entre points, droites et plass :

1. À 2 points correspond une droite. — 2. Il n’y a qu’une droite qui corresponde à 2 points. — 3. Sur une droite il y a au moins 2 points. Il y a au moins 3 points non en ligne droite. — 4. À 3 points non en ligne droite corres pond un plan. Un plan contient au moins un point. — 5. À 3 points non en ligne droite ne correspond pas plus d’un plan. — 6. Si une droite a 2 points dans un plan, tous ses points sont dans ce plan. — 7. Lorsque 2 plans ont un point commun, ils ont au moins encore en commun un autre point. — 8. Il y a au moins 4 points qui ne sont pas dans un même plan.

Le groupe I 1-3 constitue le groupe des axiomes plans. Les énoncés sont une simplification et une précision de ceux de PASsCcH, avec l’importante différence que la notion initiale est la droite indéfinie et non le segment (on a vu que PASCH partait du fini).

II) Ceux de l’ordre : 1. Si 1 point B est entre 2 points 4, C : À, B, C, sont en ligne droite et B est entre C et À. — 2. À 2 points À et C correspond au moins 1 point B sur la droite AC tel que C soit entre À et B. — 3. Etant donnés 3 points sur une droite, il n’y en a qu’un qui soit entre les 2 autres. — 4. Si À, B, C forment un triangle et si la droite a coupe le côté AB entre A et B, elle coupe l’un des côtés 4C ou BC, entre les 2 sommets.

Les axiomes 1-3 définissent l’ordre linéaire, l’axiome 4 l’ordre dans le plan. Ici encore les énoncés viennent à peu près de PASCH, l’axiome 4 sans changement. Dès 1894 dans la lettre à KLEIN, Über die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkhte (HiLBERT (1)) ces 2 groupes d’axiomes sont introduits au début, dans des énoncés analogues (avec en plus l’axiome d'ARCHIMÈDE V).

Grâce à l’ordre on peut orienter droites et plans, définir des angles (couples de 2 droites), avec un sens de rotation.

IT) Congruence : 1. À et B étant sur une droite, A’ sur une autre,on peut déterminer sur celle-ci (et du même côté de 4’ que B par rapport à A) B' tel que AB — A'B' (AB et A'B' sont dits congruents). — 2. Si 2 segments sont congruents à un 3°, ils sont congruents entre eux. — 3. Si AB et BC sont 2 segments sans points communs et sur la même droite, A! B! et B!C' dans la même situation sur une autre droite, et si AB — A'B!, BC = B'C! on à AC = A'C' (addition). — 4. A tout angle (@ b) on peut construire sur une droite a’, et du même côté par rapport à a/, que (a, b) par rapport à a, un angle (a', b') qui lui soit congruent. — 5. Si dans 2 triangles À B C et

LE CALCUL DESARGUIEN 69

gruence — par des constructions qu’à condition d’ajouter une dimension de plus: WIENER remarquait qu’en passant au plan, il n’est plus besoin de calcul pour déterminer le 4° harmonique à 3 points sur une droite. De même, le théorème de DESARGUES n’est démontré dans le plan qu’à condition de le supposer vrai dans l’espace et d’utiliser l’espace. D'où intervention nécessaire d’une critique axiomatique qui «purifie les méthodes ».

On sait le résultat: impossibilité de démontrer le DE- SARGUES en se passant à la fois des axiomes de l’espace et des axiomes de congruence. Il faut, si l’on reste dans le plan, utiliser outre I 1-3, II et le dernier axiome de congruence III, 5; inversement on peut définir un modèle géométrique satisfaisant à tous les axiomes plans, sauf pour la congruence à l’axiome précité et ne satisfaisant pas non plus au DESARGUES. Un lien apparaît donc entre le théorème et l'insertion possible d’une géométrie à 2 dimensions dans une géométrie à 3. Pour le précisêr, comme pour établir le rapport avec le théorème de PASCAL, HILBERT introduit un « calcul de segments » original : par simples tracés de droites on définit la somme et le produit de deux segments ; le théorème de DESARGUES, simplifié (:) au

ne TES A' B!C' les côtés AB et A'B', AC et A'C' et les angles BAC et B'A'C' sont

ET Es respectivement congruents, on a également ABC — A'B'C!.

Ici encore les énoncés de PAscx ont servi de guides ; cependant Pascx n'avait pas la notion de plan (et d'angle) orienté, il remplace les axiomes 4-5 par des énoncés de la forme : deux figures planes étant congruentes, si on ajoute un point à l’une, on peut ajouter un point à l’autre de façon que la congruence soit conservée. PASCH (I), p. 93-90.

IV) Parallèles : D'un point on ne peut mener qu’une parallèle à une droite.

V) (Archimède) : Etant donnés 2 segments AB et CD, on peut sur là droite AB juxtaposer les segments A4,, 4,4,... An-14n tous congruents à CD, de telle sorte que B soit entre A1 et An. Axiome énoncé pour la 1re fois par ©. Srozz (I), repris textuellement par Pascx (I) comme 4° axiome de congruence et par HILBERT (11), comme axiome de continuité. l

(1) Il s’énonce alors : Si 2 triangles dans un plan ont leurs côtés homo-

J. CAVAILI ÈS 5

70 LE CALCUL DESARGUIEN

moyen de l’axiome des parallèles (mais la simplification est extérieure au principe du raisonnement) (1) garantit alors la commutativité et l’associativité de l’addition, la double distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (2) ; les seuls axiomes supposés (*) (en plus du DE-

logues parallèles, les droites joignant les sommets sont concourantes'ou paralièles, et réciproquement (fig. 4).

Fic. 4. FiG. 5:

De même pour le PAsCAL: dans les 2 systèmes ABC, A'B'C', si CB' et CA' sont parallèles respectivement à BC' et AC’, BA' est aussi parallèle à AB" (fig. 5).

(1) HILBERT (IV), p. 88», : « même sans axiome des parallèles on peut introduire un nouveau calcul de segments ».

(2) Le calcul desarguien se définit ainsi : on prend comme axes deux droites quelconques se coupant — à partir de l'intersection O on porte les segments. 1° addition : les segments a, b étant portés sur le même axe OA on choisit un point quelconque 4’ sur l’autre axe, on mène de A' une parallèle à l’axe O4, soit A” son intersection avec la parallèle menée de B à OA" ; de A" on mène une parallèle à A4’, qui rencontre OA en C. OC est, par définition, la somme des segments OA et OB. Le théorème de DEsaARr GUES montre que le point C est indépendant du choix de A’ (fig. 6).

Fic. 6.

2° produit. On prend ‘sur chaque axe un segment unité OE, OE! : de À (extrémité du segment a) on mène la parallèle 44! à EE’. On joint EA' et on mène de B la parallèle BC’ à EA' : OC! est le produit OA x OB (fig. 7).

(3) Pour se passer des axiomes de congruence on doit prendre un axicme des parallèles plus fort, IV* : Il y a, dans le plan déterminé par une droite

et un point, une droite et une seule passant par le point et ne coupant pas la droite.

LE CALCUL DESARGUIEN 7I \

SARGUES) étant I 1-3, II et IV. On peut alors construire un modèle géométrique à 3 dimensions, les points étant définis comme des triples de segments, les plans comme des quadruples (dont le dernier élément n’est pas nul) à un facteur commun près ; le calcul a toute les apparences de la géométrie analytique, mais il ne s’agit que d'opérations graphiques (:). On constate que le modèle satisfait à tous les axiomes, y compris les axiomes de l’espace. Le DESARGUES est donc la condition nécessaire et suffisante de l'insertion de la géométrie plane dans une géométrie à 3 dimensions.

Mais le calcul desarguien ne satisfait ni à l’axiome d’AR- CHIMÈDE, n1 à la loi de commutativité de la multiplication, deux exigences dont HILBERT démontre à cette occasion l’équivalence. Or, le PAScAL, que l’on peut démontrer sans l’axiome d’ARCHIMÈDE à l’aide des axiomes de congruence, est impossible à atteindre si ces 2 groupes d’axiomes sont exclus simultanément. Le calcul desarguien en donne la raison (2?) : dans sa définition de la multiplication, l'exigence

(1) Si un plan est représenté par (uw, v, w, r), u, v, w, » étant 4 segments définis à un facteur de proportionnalité près ; une droite sera un couple de plans (x, v, w,r) et (u’, v', w', r') (si les 2 quadruples ne se réduisent au même par multiplication par un facteur commun) l'incidence d’un point (x, y, 2) sur un plan est exprimée par l'équation :

UX + Vy + WzZ + 7 = 0 l'incidence sur une droite par, en outre, l'équation w'x + v'y + w'z + y! = 0. Les axiomes de l’ordre sont satisfaits : étant donnés 3 points (xy2), (x'y'z'), (x''y!'z") sur une droite, on dira que (x'y'z') est entre les 2 autres si on a au moins une des 6 doubles inégalités :

x>x'>x"! y>Yy'>7y" 2>2>>2" x <x!<x" y<y'<y" LAS SD

(2) On voit, en effet, d’après la figure ci-contre qu'étant donnés sur l'axe

de la commutativité coïncide avec l’énoncé même du théorème de PASCAL. — Inversement, le théorème de DESARGUES est démontrable à partir du PASCAL, sans intervention des axiomes de congruence ni d'ARCHIMÈDE (avec les seuls I 1-3, II et IV*) ; ilse réduit à la succession d’un nombre fini de configurations pascaliennes. On arrive donc à l’important résultat qui représente comme l'aboutissement des Grundlagen, et précise l'affirmation de WIENER : «tout théorème d’intersection, valable dans une géométrie plane où sont satisfaits les axiomes I 1-3, II et IV* et le théorème de PASCAL, se présente, après la construction de points et de droites auxiliaires, comme la combinaison d’un nombre fini de configurations pascaliennes ». Analytiquement, l’intersection s'exprime par une relation identique entre les paramètres définissant les éléments arbitraires initiaux : or, les opérations de calcul en lesquelles se décompose la relation sont toutes définissables par un nombre fini de configurations pascaliennes.

Double conséquence :

1° dans la recherche, le rôle des différents axiomes est précisé, d’après les opérations qu’ils conditionnent. L’interchangeabilité entre axiomes d'incidence dans l’espace et axiomes de congruence est significative : il s’agit d'obtenir des « fermetures », or, justement l’axiome III, 5 est un axiome « fermant ». De même, pour l’axiome d’'ARCHIMÈDE. qui ne suppose pas la congruence (contrairement à ce que croyait PASCH) : le transport du segment est remplacé par l'addition (construction graphique) du segment à lui-même (fig. 9). Ce qui importe donc n’est pas l’énoncé descriptif

OX les points E, 4, B (représentant respectivement les segments I, à, b) sur OY les points 4’ B' C' (représentant respectivement a, b et ab), le théorème de PAscaL affirme le parallélisme de EB! et C'A : par construction OC" représente aussi le produit ba.

dans un axiome, mais l’efficacité qu’il possède relativement à un certain résultat. D'où le rassemblement des axiomes sous 5 titres correspondant aux 5 principaux résultats visés :

a 2a Fic. 9.

liaison, ordre des points sur une droite ou sur un plan, relation d'égalité entre figures, parallélisme, continuité. Les deux derniers groupes procurent une espèce de prise de possession de l’infinité de l’espace, c’est-à-dire à la fois son affirmation et le moyen de la dominer par des opérations finies : étant donné un point sur une droite, on pourra toujours, à partir d’un autre point de la droite, l’atteindre par juxtaposition d’un nombre fini de segments égaux ; étant données deux droites prolongeables indéfiniment dans le plan, leur intersection est toujours fixée par leur connaissance à distance finie (ce qui n’a pas lieu dans une géométrie non euclidienne si l’on veut garder l’axiome d’incidence

2 droites distinctes n'ont qu’un point commun). L'ordre entre les groupes est d’ailleurs essentiel : ainsi dans l’ordre des Grundlagen la congruence est antérieure à la notion de transformation continue (!) qui pourrait la fonder (PASCH pour justifier — il est vrai uniquement du point de vue de sa philosophie empiriste — les axiomes de congruence, faisait intervenir l’image sensible du mouvement) ; le seul résultat visé est «le théorème le plus général de congruence »: étant données deux figures (définies par les axiomes d’incidence et d’ordre) entre lesquelles est supposée déjà la rela-

(1) HILBERT (Il), p. 60.

tion de congruence, si l’on étend l’une d’elles (par adjonction de points), il est toujours possible d'étendre l’autre (de façon univoque si la figure n’est pas située sur une droite) en conservant la congruence. Il s’agit d’une relation qui doit être maintenue entre deux systèmes d'objets à travers tous les accroissements qu’on leur peut faire subir avec les moyens de construction dont on dispose.

Mais si l’ordre est inversé, si, en particulier, «la continuité passe au premier rang », le déplacement deviendra la notion fondamentale qui, armée des trois propriétés que lui attribuent trois axiomes, permettra, à partir du plan numérique, de reconstituer toute la géométrie euclidienne plane : tel est l’objet du mémoire de 1902 dominé par les méthodes de LIE et de CANTOR qui déterminent l’unique procédé de construction (:). Aux éléments du plan numérique correspondent les points du plan géométrique, aux domaines de JORDAN (numériques) les voisinages de ces points, qui permettent de définir la continuité : et, après démonstration des propriétés essentielles du cercle géométrique (courbe de JoRDAN), la congruence des segments est cette fois définie par les déplacements, qui permettent aussi de prendre le milieu d’un segment : la droite sera le système des points engendrés à partir de 2 points par prise du milieu d’un segment, demirotations et passages à la limite.

20 Extension du champ d'application de la méthode. Tout calcul sera susceptible d’être axiomatisé, puisqu'il ne s’agit plus de description d'objets préalaviement donnés. On a vu que GRASSMANN et PEANO avaient déjà commencé pour l’arithmétique, grâce au aetour de la formalisation.

(1) HizBerT (VI), p. 178-230. Les 3 axiomes sont : 1. Les déplacements forment un groupe. — 2. À et B étant 2 points distincts, on peut, par déplacement laissant B fixe (rotation), amener À en une infinité de positions différentes. — 3. Les déplacements forment un système fermé. — Les déplace-

ments sont des mises en correspondance biunivoques et continues du plan avec lui-même.

Le mérite des Grundlagen est d’avoir, à propos du système desarguien et de son rapport avec l’axiome d'ARCHIMÈDE, manifesté, en pleine clarté, par la contrainte des raisonnements, que le traitement dans les deux sciences devait être exactement le même parce qu'il s'agissait des mêmes procédés de pensée. De là à considérer que seule la méthode axiomatique peut fonder et étendre le travail mathématique, parce qu’elle exprime son essence, il n’y avait qu’un pas, qui fut fait en 1890.