CHAPITRE II

La méthode axiomatique.

En 1809, HILBERT opposait méthode axiomatique en géométrie et méthode génétique en théorie des nombres : «partant du concept du nombre 1, on se représente d’abord l’engendrement des entiers successifs et des règles de calcul grâce à l’acte de compter ; puis, par l’exigence que la soustraction s'effectue toujours, le nombre négatif ; le nombre fractionnaire, défini comme un couple d’entiers (et alors toute fonction linéaire s’annule) ; enfin le nombre réel comme coupure ou suite fondamentale, par quoi on obtient que toute fonction. continue indéfinie s’annule » (:). Ainsi procédait-on dans l’école de WEIERSTRASS, ainsi KRONECKER reconstituait-1l toute l’analyse à partir du nombre entier «seul créé par le bon Dieu ». La question qui se pose est de savoir « si la méthode génétique est la seule appropriée pour l'étude du concept de nombre, la méthode axiomatique pour le fondement de la géométrie. Voici mon opinion : malgré la haute valeur pédagogique et heuristique de la méthode génétique, la méthode axiomatique est préférable pour une représentation définitive et un complet affermissement logique du contenu de notre connaissance ». En effet, dans le cas de la théorie des nombres réels, elle évite les difficultés de « l’existence du système de tous les nombres réels et, en

(1) HILBERT (V), p. 241.

général, d’ensembles infinis » que la méthode génétique obligeait à construire. « Par l’ensemble des nombres réels, nous n'avons pas à penser la réunion de toutes les lois possibles d’après lesquelles les éléments d’une suite fondamentale peuvent se succéder, mais seulement un système de choses dont les relations mutuelles sont données de façon complète par le système fini d’axiomes précédents et sur lesquelles de nouveaux énoncés ne sont valables que si on peut les en déduire par un nombre fini de démarches logiques (1).» Ce n’est que par un préjugé réaliste que nous nous préoccupons d'objets alors que seul importe, dans la succession de nos affirmations, ce qui régit cette succession, savoir le travail intellectuel effectif. L'observation vaut pour toute discipline, pour « les domaines spéciaux purement mathématiques comme la théorie des surfaces, la théorie des équations de GALOIS, la théorie des nombres premiers, aussi bien que pour maints domaines scientifiques loin du mathématicien, comme certaines parties de la psychophysique ou la théorie de l’argent » (?). En effet, qu'est-ce qu’une théorie, sinon « l’établissement d’une certaine charpente de concepts » permettant une mise en ordre de faits ? Or, pour la construction de la charpente, « certains théorèmes fondamentaux suffisent, à partir desquels tout le reste se déduit logiquement. Aïnsi « en mécanique les équations de La- GRANGE... en théorie du rayonnement la loi de KIRCHHOFF sur le rapport entre émission et absorption..., en théorie des nombres premiers le théorème sur la réalité et la fréquence des zéros de la fonction riemanienne & (s).

La méthode axiomatique non seulement permet de fonder les mathématiques mais encore justifie leur application universelle dans les sciences de la nature. Grâce à elle nous atteignons, en effet, ce qui constitue « l’essence de la pensée

{1x) Zbid., p. 246.

(2) HizBERT (VIII), p. 147.

scientifique ». « Tout ce qui peut être en général objet de pensée scientifique tombe sous le coup de la méthode axiomatique et par là, médiatement appartient à la mathématique (1). »

L'identification qui paraît même dans la dernière formule est justifiée par les succès obtenus par la méthode axiomatique au cours des dernières années. Manifestant l’unité organique d’une théorie non d’après les objets — construits — dont elle peut s'occuper, mais par l'unité opératoire d’un certain procédé intellectuel, elle provoque à la fois regroupement des disciplines entre elles, redistribution de l’économie intérieure d’une discipline. C’est l'essor de la théorie des corps en algèbre à la suite des travaux de DEDEKIND et de STEINITZ. C’est en analyse la libération de « ce style des e » — dont parle C. CHEVALLEY (?) — qui alourdit inutilement les écrits dans l’école de WEIERSTRASS : il suffira de préciser une fois pour toutes dans quelles conditions (c’est-à-dire par quelles relations) a un sens le passage à la limite. Ainsi se constitue un des plus beaux produits de la méthode axiomatique, la théorie des espaces abstraits (3) — ou topologie générale — dont les éléments sont des objets mathématiques quelconques (nombres, fonctions, etc.) entre lesquels des relations très générales de voisinage (c’est-à-dire permettant de définir une convergence entre certains éléments) sont introduites d’une façon quelconque : le fait que l’on peut définir des fonctions de ces éléments (ou fonctionnelles lorsqu'elles ont pour valeur un nombre réel), les différentier (*) et les intégrer (*) dans ces espaces, même pourvus des propriétés les plus pauvres, à permis de grandes

(1) Zbid., p. 156.

(2) C. CHEVALLEY (I).

(3) Fondée par M. FRÉCHET, cf. M. FRÉCHET (I).

(5) L'intégration la plus générale définie comme produit de deux espaces a été introduite simultanément par H. HAHN et KR. DE POossEL.

simplifications, en particulier dans la théorie de l’intégration, dont aussi bien les travaux de LEBESGUE avaient inauguré le premier traitement axiomatique. Des rapprochements inattendus se produisent — évitant des transpositions fastidieuses — comme entre la théorie de la mesure de LEBESGUE et le calcul des probabilités. Enfin sont éliminées ces reconstructions fâcheuses par lesquelles une théorie est contrainte de subir la méthode d’une autre qui complique et masque ses enchaînements propres : représentation des points d’un plan euclidien ou des nombres complexes par des couples de nombres réels.

Mais si féconde soit-elle, si intimement unie avec la pensée mathématique véritable, la méthode axiomatique peut-elle la fonder ? En tant que caractéristiques d’un procédé opératoire, les axiomes d’un système ne font que le décrire. Pourtant, leur formule énoncée, dit HILBERT, il suffit d’une déduction logique pour en déduire tous les résultats de la théorie : retour, semble-t-il, à l’ancien logicisme. La différence serait seulement qu’au lieu d’un axiome, il y en ait plusieurs. L’analogie peut se poursuivre : pour les logicistes la valeur apodictique de l’axiome vient de sa virtuelle réductibilité au principe d'identité : «1ù mavres oi amoderxvUvres Eli TaUTny Avayouoty ÉSY ATV DGEav-qUSEt ap ApYA Xat TOY GAÂWY GEtwugtwy abrn révwy » (1). On sait que LEIBNIZ, après la logique de Port-Royal qui y tendait aussi (?), définissant de son côté l’axiome «une propriété évidente aussitôt qu’on

(1) ARISTOTE, Métaphysique T' 1005 b 33 : « donc toutes les démonstrations aboutissent à ce principe (d'identité) que nous avons posé : il est par nature l’origine de tous les autres axiomes. »

(2) « Lorsque,pour voir clairement et distinctivement qu'un attribut convient à un sujet, on n’a besoin que de considérer les deux idées du sujet et de l’attribut avec une médiocre attention, en sorte qu’on ne le puisse faire sans s’apercevoir que l’idée de l’attribut est véritablement enfermée dans l'idée du sujet, on a le droit alors de prendre cette proposition pour un axiome qui n’a pas besoin d’être démontré, parce qu'il à de lui-même toute l'évidence que pourrait lui donner la démonstration. » Logique, IV, 6, p. 483.