LA NON CONTRADICTION

en entend les termes » (1), ne le considérait comme établi qu’une fois que la définition des termes en avait fait une proposition identique (?). — Pour HILBERT, l'autorité d’un système d’axiomes, relative cette fois à la théorie dont il constitue l'indispensable préface, est fondée sur trois caractères : non contradiction, indépendance des axiomes entre eux, saturation. Leur mode d’établissement seul leur peut donner un sens ; on voit toutefois que le premier fournit l’étoffe logique des deux autres : un axiome est indépendant des autres si le système formé de ceux-ci et de sa négation est non contradictoire ; un système est saturé si l’adjonction de tout nouvel axiome, indépendant de ceux précédemment posés le rend contradictoire. Ainsi la non contradiction joue pour l’axiomatique moderne le rôle que jouait l’identité pour l’axiome traditionnel. Exister, pour un objet mathématique, disait POINCARÉ, c'est être non contradictoire.

Mais comment prouver ces propriétés ? La non contradiction, dit HILBERT, est « l'impossibilité de déduire logiquement des axiomes un fait qui les contredise », qui soit la négation partielle ou totale de l’un d’eux. Pour la géométrie on a recours à un modèle : on coordonne à chacun des objets — indéterminés — de la théorie un objet d’une autre théorie, à chaque relation fondamentale de la r'e (être sur, être entre) une relation de la seconde. Les exigences des axiomes deviennent des conséquences au sein de la théorie témoin : si une contradiction en pouvait sortir, celle-ci en serait atteinte. Dans les Grundlagen HILBERT utilise le système des nombres algébriques obtenus à partir de x par les 4 opérations et l’opération |Vr +#?|, n étant un nombre déjà obtenu ; un point sera représenté par un couple de

(1) Nouveaux Essais.

(2) Par exemple pour l’axiome : « le tout est plus grand que ja partie » Specimen Geometriæ luciferæ. Math. Schr. VII, p. 274.