L'INDÉPENDANCE 8I

nombres, une droite par les rapports de 3 nombres (4 : v : w). La géométrie analytique ordinaire traduit les relations fondamentales et montre que les axiomes sont satisfaits. La congruence est définie par les groupes des translations et des rotations dans le plan (d’où l'opération | V1 + n° |). La non contradiction — supposée — de l’algèbre est ainsi déléguée à la géométrie.

Les démonstrations d'indépendance empruntent leur modèle, soit à l’arithmétique directement, soit à une portion ou complication de la théorie entière. Dans le 2€ cas, le principe est que, si la théorie définit N relations entre ses objets, leur groupement 2 à 2 permettra d’en définir 2 parmi lesquelles, les éliminations nécessitées par les exigences des axiomes subsistant étant faites, il sera toujours possible de choisir les variations satisfaisant à la négation de l’axiome en question. Ainsi pour l’axiome des parallèles le modèle de CAYLEY, ainsi plus simplement pour l’axiome d’ARCHIMÈDE le modèle de Véronèse d’une géométrie réduite aux points situés sur des parallèles équidistantes, un même segment pouvant enjamber deux ou plusieurs paral-

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lèles : on voit que À B > n. C D, 1 grand que soit ». Pour le dernier axiome de congruence (III, 5) c’est, dans le plan, une géométrie où la longueur des segments est évaluée par celle de leur projection sur un plan faisant un angle aigu avec le plan considéré ; la congruence des angles étant au contraire définie de façon habituelle (fig. 11 : À C — À B, DAC = DAB par hypothèse, on voit que ADC ADB).