LES DEUX INDÉPENDANCES

L'indépendance des axiomes est importante, non seulement pour l'élégance de la présentation, mais pour l'efficacité même de la théorie. Son étude fait découvrir des relations logiques profondément cachées : ainsi l’équivalence, pour la démonstration d’un théorème (le DESARGUES), de l’adjonction à un système donné (axiomes I 1-3, II, IV) de deux nouveaux groupes (I 4-5 et III) pourtant indépendants entre eux et indépendants du système. D'où les recherches de O. VEBLEN (:) et HUNTINGTON (2) sur « l'indépendance affinée », le moyen d'obtenir pour la géométrie des énoncés comportant — visibles ou non — le moins de parties communes possible. — On doit, d'autre part, distinguer entre indépendance de sens et indépendance d’affirmaton : un axiome pouvant toujours être mis sous forme de proposition hypothétique, la dépendance de sens concerne l’hypothèse, la dépendance d’affirmation la conclusion. La 22 seule est évitée en général ; la 1re, au contraire, marque l’ordre nécessaire des axiomes (et de leurs groupes : les axiomes de congruence ou de continuité n’ont de sens que si les axiomes d'incidence ou de l’ordre sont satisfaits).

VEBLEN étudie systématiquement l'indépendance des 10 axiomes d’un système qu'il substitue aux 12 axiomes d'incidence et de congruence de HILBERT (les seules notions primitives sont celles de point et d’ordre : une droite est l’ensemble des points À possédant, par rapport à 2 points À et B, une des relations d'ordre À X B, ABX ou XAB ; un plan l’ensemble des points « en ligne droite » avec 2 points situés sur les côtés d’un triangle, — un triangle étant défini par 3 points non en ligne droite : l'inconvénient est, on le voit, le recours constant à la notion d'ensemble). Pour ses 8 axiomes de l’ordre, il établit une matrice des modèles, triades ou pentades de nombres rangés dans l’ordre naturel, et où des