HUNTINGTON (I

SATURATION ET CATÉGORICITÉ 83

permutations cycliques (complètes, c’est-à-dire portant sur la suite 0,1 .. 9 ou partielles I, 2, 3, par exemple) permettent d'introduire un grand nombre de variations. Chaque modèle satisfait à tous les axiomes sauf un, la plupart des satisfactions étant obtenues par annulation (l'hypothèse de l’axiome n’est pas vérifiée). VEBLEN note un fait curieux : chacun des 8 modèles ne comporte qu’un nombre fini d’éléments, alors que la satisfaction simultanée des 8 axiomes en réclame une infinité. En réalité, seul le 8° axiome comporte cette exigence (axiome de PASCH, axiome II, 4 de HiL- BERT) ; mais son hypothèse dépend des 7 axiomes précédents: des 8 modèles examinés, un ne le satisfait pas, 7 le satisfont par annulation.

La notion de dépendance de sens permet d’introduire logiquement celle de saturation pour un système : entre toutes les possibilités d’une (ou plusieurs) relation à 2 ou 3 termes (p. ex. l’ordre) le rôle de chaque axiome postérieur (du point de vue du sens) est d’introduire une limitation. Il se trouve ainsi relativement déterminé. On conçoit qu’à un moment la zone de variabilité disparaisse, qu’il y ait saturation. Préciser est assez difficile : on pourra dire indirectement que la théorie est saturée si toute proposition formulable en ses notions fondamentales est ou démontrable ou réfutable (sa négation démontrable) dans la théorie (définition forte) ; ou s’il est impossible qu’une telle proposition et sa négation soient simultanément compatibles avec les axiomes (définition faible équivalente à celle donnée pius haut). L'une et l’autre n’ont pas de sens exact dans des systèmes non formalisés (dans lesquels les notions de démonstrabilité et d’incompatibilité ne peuvent être circonscrites).

Le recours au modèle a comme effet de transformer la propriété. On considérera que tous les modèles satisfaisant aux axiomes sont #somorphes, c’est-à-dire qu’on peut établir entre leurs éléments une correspondance biunivoque laissant invariantes les propriétés définies par les axiomes. C’est

ce que ©. VEBLEN appela catégoricité, par opposition aux systèmes disjonctifs «auxquels on peut adjoindre encore un axiome indépendant ». On voit que c’est ici impossible : on n'aurait, sans cela, qu’à soumettre un des modèles au nouvel axiome et l’autre à sa négation, il n’y aurait plus isomorphie. La catégoricité entraîne donc la saturation (définition faible), puisque celle-ci coïncide avec l'impossibilité de bifurcation (Nichtgabelbarkeit). Mais la réciproque est contestée : les deux notions ont des contenus trop différents. Historiquement, la saturation est apparue la première : HILBERT en parle dans son article Sur le Concept de nombre (1899), en lui donnant le sens « que le système des axiomes suffit à la démonstration de toutés les propositions géométriques » (*). Mais il n’indique n1 là, n1 dans les éditions successives des Grundlagen, de quelle façon la démonstration en pourra être effectuée, alors qu'il s'occupe longuement de l'indépendance et de la non contradiction. Au contraire, VEBLEN est amené à la catégoricité par la notion de définition exhaustive — à laquelle HUNTINGTON réduit l’axiomatique des nombres réels — et donne aussitôt un moyen de la prouver par son système.

La lacune dans l'édifice hilbertien s'explique par l’intervention d’un axiome spécial de saturation, qui ne fut pas sans provoquer quelque trouble. Dans la rre édition des Grundlagen, 11 n'y avait qu’un axiome de continuité, l’axiome d’ARCHIMÈDE. Dans le mémoire Sur le Concept de nombre — où les axiomes destinés à fonder la théorie des nombres réels sont à peu près calqués sur ceux de la géométrie — apparaît un second axiome de continuité : «il n'est pas possible d'ajouter au système des nombres un autre système d’objets de façon que, dans l’ensemble total, en maintenant les relations primitives entre les nombres, les axiomes T (liaison), IT (calcul), III (ordre), IV (ARCHIMÈDE)

(x) Loc. cit., p. 187.

soient satisfaits ; en bref : les nombres forment un système d'objets qui, par conservation de toutes les relations et de tous les axiomes, n’est pas extensible » (1). L'ensemble des nombres rationnels — et tout système analogue (c’est-à-dire dénombrable et dense) — satisfait aux axiomes mais peut toujours se voir adjoindre de nouveaux éléments. Si l’on interdit cette éventualité, on exclut le modèle rationnel et caractérise celui des nombres réels où toute extension est impossible, puisque toute suite convergente détermine un nombre de façon univoque. Dès la 2€ édition des Grundlagen, l'axiome est transposé en termes géométriques «il n’est pas possible d'ajouter aux points, droites, plans, d’autres objets... » On peut même simplifier en ne parlant que de points et en ne citant que les axiomes linéaires : le reste de l’axiome est alors transformé en théorème (2). Ici, la catégoricité est atteinte si l’on suppose donné l’ensembie des nombres réels : l’axiome d’ARCHIMÈDE assurait qu’à tout point correspond un nombre réel, l’axiome de saturation procure la réciproque. Dès lors, grâce à la géométrie analytique, il y aura isomorphie entre tous les modèles satisfaisant aux axiomes (le mixte étant fourni par l'analyse). Mais cette coïncidence n’est qu’un accident. R. BALDUS () montre que loin d’être la «pierre angulaire » (SCHLUSSSTEIN) de tout l’édifice, l’axiome de saturation pourrait aussi bien conclure la géométrie indépendante de l’axiome des parallèles, ou géométrie absolue (BoLyAï). En effet, il ne se rapporte pas, dans son énoncé, à l’axiome des parallèles, et on a un moyen, dans cette géométrie, de coordonner de façon biunivoque les points à des triples de nombres réels. L'axiome est satisfait : impossible d'ajouter d’autres éléments. Pourtant, nous avons cette fois deux modèles non

(1) Loc. cif., p.183.

(2) Fait par HILBERT dans les éditions postérieures des Grundlagen,

d’après une remarque de BERNAYS.