LES ENSEMBLES ANALYTIQUES

rations négatives comme le passage au complémentaire : si l’ensemble E des valeurs d’une fonction peut être considéré comme donné, « nous ne possédons aucun procédé régulier pour reconnaître si un nombre réel y, donné appartient ou non au complémentaire de E » (:) ; la théorie des ensembles analytiques dont les complémentaires doivent être considérés comme appartenant à une espèce plus compliquée en est une preuve. En réalité il y a recours à l'intuition géométrique. Mais ici apparaît la deuxième difficulté essentielle de l’empirisme borélien : le rôle de l'intuition géométrique dans la définition du domaine fondamental par exemplen’est nulle part précisé. Si le continu numérique n’est qu’une « notion négative », faut-ii l’éliminer suivant l’exigence LusIN ? Alors disparaît tout l'édifice des ensembles mesurables B : le continu des nombres calculables (dont toute portion qu'on y distingue) a en effet pour mesure O. L’attitude de LUSIN comporte d’ailleurs plus d’un paradoxe : si tout ce qui dépasse les ensembles mesurables B tombe dans les mathématiques verbales, quel sens ont pour lui les importants résultats qu’il obtient sur les ensembles analytiques ? Il conclut son ouvrage : «l’auteur de ce livre incline.. à considérer les exemples construits par lui comme formés de mots et ne définissant pas des êtres véritablement achevés, mais seulement des virtualités » (2). On ne voit guère le sens que peut avoir ici le mot virtualités, surtout quand il s’agit d’ensembles analytiques ou projectifs qui ne pourront jamais être actualisés par une construction effective à partir des éléments initiaux imposés par BOREL. Mais n’y a-t-il pas dans les raisonnements géométriques qu'il utilise des opérations concrètes dont l’enchaînement possède un sens, même si on n’en peut fabriquer le résultat avec la matière nombre entier au moyen de calculs effectifs ?

(HD par, n (2) USE

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C’est justement en mettant l’accent sur le contenu actuel d’un raisonnement — indépendamment d'objets, points de départ unifiés pour toutes les mathématiques — que LE- BESGU Ea essayé de procurer une limitation moins rigoureuse grâce à sa notion du #ommable ou de r’effectif. « Un objet est défini ou donné quand on a prononcé un nombre fini de mots s'appliquant à cet objet et à celui-là seulement; c’està-dire quand on à nommé une propriété caractéristique de l’objet » (‘). On voit la distance par rapport aux affirmations purement existentielles de ZERMELO ou de CANTOR : 1l est impossible de trouver satisfaisante la démonstration par exemple que la classe II a une puissance inférieure ou égale à celle du continu (en faisant correspondre « au symbole 1 un point {, au symbole 2 un point 4, au symbole « un point /, ... Nous ne serons jamais arrêté, car jusqu'à « nous n'avons employé qu’une infinité dénombrable de points £., donc il reste des points et nous pourrons isoler l’un d’eux #41») (?), car « nous avons prétendu démontrer l'existence d’une application... [de la classe IT] sur le continu sans en nommer aucune ». D'une façon générale c’est l’unicité du nommé qui intervient : l’ensemble donné par l’axiome de choix n’est pas déterminé de façon univoque (*). Or, un raisonnement n’a de sens que si les objets qui y figurent sont « effectivement définis ». Là-dessus donc « analogie avec le point de vue choisi par M. BOREL » (*). Mais c’est la notion de définition qui est changée : loin d’exiger

(1) LEBESGUE (II), p. 205.

(2) Tbid:,.p: "213.

(3) On sait que le théorème de ZERMELO sur la possibilité de bien ordonner tout ensemble M avait été très attaqué par les empiristes français (V. les Cinq lettres sur la théorie des ensembles en particulier la lettre de LE- BESGUE in BOREL (I), p. 153) : ZERMELO y utilise l’axiome de choix affirmant l'existence d’un ensemble ayant un et un seul élément commun avec toute partie de M. Nous donnons précisions et bibliographie sur ce sujet in CAVAILLÈS (III), p.

(4) LEBESGUE (Il), p. 205.

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une construction possible à partir d’un type d'objets posés une fois pour toutes, l'effectif au contraire réclame que dans la caractérisation de l’objet n’apparaisse que ce qui importe pour le raisonnement présent. « Il ne faudrait... pas croire qu'une fonction [y] est nécessairement mieux définie quand on donne une propriété caractéristique de l’ensemble =) (4, 21%) Mi Xe 2%, cat unettelléprOpReLeMme per met pas en général de calculer y » (1). La représentation ana- -lytique est aussi illusoire ; ainsi la fonction (?) : (= ln (cos ml)" TRE

(égale à 1 pour x rationnel et à o pour x irrationnel) « n'est pas connue pour x = C |C étant la constante d'EULER] bien que l’on sache calculer C avec autant de décimales que l’on veut, et si nous la connaissons pour x = r ce n'est pas son expression analytique qui nous la fait connaître » (*). La notion de définition doit donc rester dans le vague : «c’est nommer une fonction que de dire qu'elle est égale à o ou à 1, suivant que la constante d'EULER est rationnelle ou non. On ne devra donc pas s'étonner si dans la suite je considère comme parfaitement définies et données des fonctions que je ne saurai calculer pour aucune valeur des variables » (%). Le mouvement de pensée est le même qui conduit LEBESGUE à mettre à la base de sa théorie de la mesure et de l’intégration des définitions descriptives au lieu des définitions constructives qu'utilise BorEL. Celui-ci, par exemple, affecte de la mesure 1 le domaine fondamental (représenté par le segment o .… 1) et convient que chacune des opérations (addition dénombrable, soustraction) génératrices des ensembles mesurables B se traduit par l’opéra-

(2) C’est la fonction dite de RIEMANN — le symbole #! représente ie produit 1.2... m.

(3) LEBESGUE (II), p. 206.