R. BALDUS (I

J. CAVAILLÈS

isomorphes : la géométrie euclidienne et la géométrie hyperbolique. On peut citer d’autres exemples : E. NOETHER a donné celui des corps algébriquement fermés absolus de STEI- NITZ : ils sont inextensibles, mais, sans leur « caractéristique », susceptibles d’une infinité d’interprétations non isomorphes. Plus simplement, soit la relation de bon ordre réciproque définie en deux axiomes : 1° si a suit b, b ne suit

Fr. 12.

pas a ; 20 tout élément est suivant d’un seul et a un seul suivant. Trois, quatre, etc... points sur un cercle orienté, sont des modèles inextensibles et non isomorphes (:). L'inextensibilité est donc condition nécessaire, mais non suffisante, de la catégoricité.

La formule même de l’axiome a été l’objet de deux critiques : au lieu de se rapporter directement aux éléments et notions fondamentales, il « parle » sur les autres axiomes, axiome au 2° degré. D'où une complication pour les démonstrations d'indépendance : faut-il, se demande KR. BALDUS (?)}, dans l'hypothèse que l’un des axiomes nommés par lui, B, est faux, changer l’énoncé (dire, par exemple, le domaine satisfaisant à À, non B, C, etc... est inextensible) ? faut-il interpréter la phrase de HILBERT : « si l’axiome d’ARCHI- MÈDE n'était pas vérifié, l’axiome de saturation serait contradictoire », comme une affirmation de dépendance du rer par rapport au 2€ ? La question ne semble pouvoir être simplement résolue par la distinction entre dépendance

(1) Ces exemples sont donnés par BALDUS, loc. cit., p. 328-329 n. (2) BazDus, loc. cit., p. 331.

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de sens et dépendance d’affirmation. Si la formule de l’axiome de saturation comporte référence expresse à l’axiome d’'ARCHIMÈDE, en cas de non vérification de celui-ci, il est évidemment satisfait par annulation. Mais s'il a pour énoncé : l’ensemble des objets satisfaisant aux axiomes du système (non précisés) n’est pas extensible, on voit qu'il est contradictoire si l’on retire l’axiome d’AR- CHIMÈDE, qu'il subsiste au contraire si on enlève l’axiome des parallèles. D'autre part, la relation qu’il introduit entre les objets n’est posée que négativement : il faut avoir déjà la notion de l’ensemble des nombres réels pour le comprendre. D'où son remplacement que préconise VEBLEN, par l’axiome équivalent de CANTOR : dans toute suite infinie de segments emboîtés, il y a au moins un point commun à tous les segments. Mais c’est justement ce recours à la notion de suite infinie quelconque que voulait éviter HILBERT par son axiomatisation des nombres réels : « les scrupules que l’on a formulés à propos du système de tous les nombres réels et d’ensembles infinis en général, perdent (avec cette méthode). toute justification » (1). Une autre solution est de se référer à l’ensemble de tous les systèmes d'objets pouvant satisfaire aux axiomes : parmi eux, énonce alors l’axiome de saturation, il y en a un qui est maximum. L'infini n’est évité que dans les mots, les deux notions d’ensemble et d’application (pour le maximum) intervenant.

Mais peut-on s’en passer pour la définition même d’une axiomatique ? Celle-ci, en tant que méthode pour fonder, se heurte à deux obstacles : 1° considérés comme éléments d’une définition implicite d’un ou plusieurs mots, les axiomes doivent faire appel pour le reste de leur énoncé à des notions préalablement introduites : notions arithmé-

(x) HILBERT (V), p. 242.

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tiques élémentaires (il y a au moins 2 points sur une droite, il y a au moins 4 points non sur un plan...), notions fonctionnelles vagues, ou notions d’existence, d'objet, de mise en correspondance (à 2 points correspond une droite, étant donnés 2 points À et B sur une droite il existe un 3€ pointC tel que B soit entre À et C) ; de même en algèbre la notion d'ensemble. Donc l’axiomatisation n’est qu’'isolement, au sein d’un système conceptuel déjà constitué ; on ne se représente pas d’axiomatisation dans le vide.

2° Cet isolement n’est pas arbitraire : on a vu que les axiomes, en systèmes ou en sous groupes caractérisaient chaque fois l’unité d’un processus intellectuel original. L’axiomatisation est en général postérieure à la constitution de la théorie, elle ne fait que dépouiller tout l’adventice pour la rendre purement elle-même. Dans les cas (algèbre ou théorie des ensembles) au contraire où le choix des axiomes crée une nouvelle théorie, ceux-ci n’ont jamais comme contenu que la description d’une certaine opération — déjà définie dans une théorie plus vaste — et délivrée par exemple de restrictions : ainsi on pourra en topologie définir les voisinages comme des ensembles ouverts quelconques et les ensembles ouverts comme des ensembles invariants relativement à l'intersection finie ét la somme infinie. Ainsi la définition axiomatique de l'intégrale de LEBESGUE qui a pour but d’assurer l’additivité complète.

De toutes façons l’axiomatisation se réfère donc doublement à un donné : extérieurement, donné du système auquel elle emprunte ses concepts; intérieurement, donné d’une unité opératoire qu’elle ne fait que caractériser. Si elle fonde elle doit ou justifier l’un et l’autre du même coup, ou être transformée de façon à s’en passer. La distinction entre fondement logique et actualisation psychologique peut faire croire à la possibilité de la première solution. HILBERT lui-même semble s’y être pris : le donné extérieur serait évité si on démontrait successivement la

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non contradiction des théories adossées les unes aux autres, le donné intérieur si on prouvait leur saturation qui garantit bien une sorte d'unité. On a vu la difficulté de la 2€ entreprise : la catégoricité n’a de sens qu’au sein d’une théorie plus vaste dans laquelle on peut définir mise en correspondance des objets et transfert des relations. Quant à la vraie saturation, on n’aperçoit pas dans la logique ordinaire un moyen quelconque de la prouver qui lui donne un sens effectif ; celui qu’elle a est, en réalité,emprunté à l'intuition de l’unité du processus opératoire caractérisé par les axiomes ; mais elle exige plus que cette unité : la géométrie absolue, parfaitement une, n’est pas saturée. On pourrait évidemment la laisser de côté, faire de chaque théorie un système hypothético-déductif, rassemblement arbitraire de propositions non contradictoires entre elles. Mais le problème du fondement des mathématiques est justement que l’on en puisse déduire quelque chose ; d’autre part, qu’une fermeture apparaisse après un certain nombre d’adjonctions. Il doit y avoir un sens commun aux axiomes rassemblés qui permette le raisonnement, sans quoi l’on tombe,avec des propositions complètement indépendantes (c’est-à-dire indépendantes dans les deux acceptions), dans la difficulté de la combinatoire leibnitienne des notions simples : on ne déduit pas, on ne fait que juxtaposer, en un nombre d’ailleurs déterminable à l’avance, des combinaisons. C’est la notion de démonstration, masquée par l’image vague de déduction logique, qui doit être approfondie : on a vu qu’en réalité, aussi bien chez PAscH que chez HILBERT, le raisonnement consistait en enchaînements opératoires guidés par l'intuition même de ces opérations. Tant que les axiomes ne sont pas parfaitement analysés logiquement, il est vain de parler de déduction. De même pour la première question : la difficulté est ici d'établir la non contradiction de la théorie initiale, sur laquelle tout repose, la théorie des nombres réels. HILBERT reconnut assez tôt le caractère original de

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l'obstacle : dès 1900, dans son discours de Paris (1), il nomme comme second des grands problèmes à résoudre la démonstration de la non contradiction de l’arithmétique pour laquelle, à la différence de ce qui a lieu en géométrie «il faut cette fois prendre la route directe... Je suis d’ailleurs convaincu du succès. si l’on adopte. les méthodes connues de la théorie des nombresirrationnels ». Cependant, en 1904, il aperçoit que « fonder l’arithmétique sur la logique » (?) n’est pas possible parce que « pour exposer les lois logiques, certains concepts arithmétiques comme celui d'ensemble et celui de nombre cardinal sont indispensables ». Reste donc la seule ressource d’une « réédification simultanée de la mathématique et de la logique ». Mais, comment régler les démarches immédiates de la pensée, sinon en les séparant de la pensée réfléchissante par une matérialisation ? La notion de démonstration ne peut être précisée que par un canon, un canon n’est possible que dans un formalisme. L'élément commun à logique et à mathématique, le signe, doit dominer : l’axiomatisation s’achève nécessairement en formalisation.

(x) HILBERT (IV), p. 300.

(2) HILBERT (VIT), p. 250.