CHAPITRE III

Notion de système formel.

Le formalisme hilbertien et l'analyse.

Le formalisme apparaît déjà dans la démonstration de non contradiction essayée en 1904 : « un objet de notre pensée est appelé... une chose (Gedankending) et fixé par un signe » avec lequel il se confond pratiquement : tels sont les objets [, II, III, etc., =, | (qui représente l’implication), etc. ; un ensemble est une lettre », et le rapport élément-ensemble, le symbole "» n. Il ne s'agissait là que d’un passage involontaire, provoqué par les exigences du problème. Après 1920, lors de ia constitution véritable de la théorie de la démonstration, il est reconnu et justifié à la fois par la réflexion sur l’essence du travail mathématique, et la volonté de sauver ses résultats et ses méthodes des amputations réclamées par les intuitionnistes.

« Déjà KANT a montré que la mathématique dispose d’une matière assurée, indépendamment de toute logique et, par suite, ne pourra jamais être fondée par la logique seule, d’où l’échec de FREGE et de DEDEKIND. Bien au contraire, la condition préalable pour l’application des raisonnements logiques est la présence d’un donné dans la représentation, certains objets concrets extra logiques qui intuitivement se trouvent là comme une expérience immédiate, antérieure à toute pensée (1). » L'idée est bien kantienne : la mathéma-

(1) HizserT (IX), p. 170. Nous renvoyons pour la pagination à la re édition — complète — du mémoire dans les Mathematische Annalen.