LE FORMALISME

les diverses opérations superposées, de reconstruire, par exemple, tout objet de l’analyse à partir de l'intuition simple du nombre entier. Tel était le point de départ de KRONECKER ; mais en suivant sa ligne de pensée on aboutit par un curieux renversement du formalisme à l’intuitionnisme avec toutes les restrictions de méthodes qu’il impose.

À cela, HILBERT ne veut pas se résoudre. Ni le rejet — pourtant admis par nombre de mathématiciens non intuitionnistes — de la théorie abstraite des ensembles, en particulier l’arithmétique des nombres transfinis « la plus admirable efflorescence de l’esprit mathématique » (1), ni surtout le renoncement aux « élégantes démonstrations » où intervient le tiers exclu, ne le trouvent résigné. « Priver le mathématicien du éertium non datur serait enlever son télescope à l’astronome, son poing au boxeur » (2). C’est au nom de la technique qu'il s'élève contre BROUWER : la théorie des fonctions, celle de l'application conforme, des équations aux dérivées partielles ne deviennent plus, avec l’intuitionnisme, «qu’un monceau de ruines ». Le problème existe (on a vu que le point de départ philosophique de HILBERT est sensiblement identique à celui de BROUWER), mais il importe de le situer par rapport à la science véritable : ce ne sont pas des difficultés techniques qui ont provoqué, après la guerre, le développement de l’intuitionnisme, l'analyse a pu être sillonnée dans tous les sens, ses méthodes raffinées, enchevêtrées à l’extrême sans qu’apparaisse la moindre contradiction. Si le cercle signalé par WEYL est incontestable, il est du moins inoffensif (#). La solution n’est donc pas dans une reconstruction — qui serait d’ailleurs un retour vers le passé (*) — mais une redistribution des méthodes, chacune

(z)- HizBERT (XI), p. 167.

(2) HizBERT (XII), p. 80.

(3) HiLBERT (X), p. 160. |

(4) « BRouwER n'est pas la révolution, comme croit WEYL, mais le renouvellement d’une tentative de putsch avec d'anciennes méthodes qui, à leur