LES ADJONCTIONS D’IDÉAUX

légitime remise en son lieu propre. La seule difficulté vient de l'infini : exiger qu’une démonstration s'effectue en un nombre fini de démarches va de soi — «comment pourrait-1l en être autrement ? » — reste la référence à des collections infinies, soit par l'application du tertium non datur (affirmation de l’existence d’un objet... basée sur la négation d’une proposition générale), soit par le choix arbitraire d’un élément. De même que WEIERSTRASS a sauvé le passage à la limite que semblait conditionner l’infini potentiel, en précisant la notion finie de convergence, de même est-il possible de donner un sens admissible à ces interventions de l'infini actuel. C’est l’analogie avec les introductions des éléments idéaux qui fournit ici la solution. I] s’agit d'assurer une validité universelle à des règles — principe du tiers exclu — que leur emploi concret soumet à des limitations (collections finies). « Souvenons-nous que nous sommes mathématiciens et que comme tels nous nous sommes trouvés dans de semblables embarras, et comment la méthode géniale des idéaux nous a tirés d’affaire » (:). En théorie des nombres, pour la validité inconditionnée des lois de la soustraction, de la division ou de l'extraction de racines, en algèbre, pour assurer les lois fixant le nombre des racines d’une équation algébrique ou la divisibilité des nombres entiers algébriques, ont été introduits tour à tour les entiers négatifs, les nombres rationnels, réels, complexes, les idéaux de KUMMER. Le procédé est chaque fois le même ; quelle que soit la formalisation préalable, le point de départ est une opération qui y échappe (zone d'usage du signe) et dont l’accomplissement concret sur un matériel préalablement donné est,

époque, quoique plus énergiquement utilisées, ont complètement échoué et maintenant que le pouvoir central est armé et renforcé grâce à FREGE, DEDEKIND et CANTOR sont à l’avance condamnés à l’insuccès ». HILBERT (IX), p. 160.

(1) HizBERT (XI), p. 174.