LES ADJONCTIONS D'IDÉAUX

1pso facto, soumis à restrictions : exponentiation comme itération de la multiplication, etc. L'adjonction d’idéaux substitue aux objets primitifs un <ystème de symboles point de départ et résultat des opérations définies, cette fois, uniquement par leurs propriétés formelles (a. & — a*® pour l'élévation à la puissance, par exemple). Ce sont les généralisations successives étudiées par DEDEKIND dans son discours d’habilitation. Comme condition, leur est imposée une double liaison avec le domaine primitif : d’une part, la possibilité d’y retraduire opérations et objets nouveaux ; un nombre rationnel est un couple d’entiers, un idéal de KUMMER un système infini d’entiers algébriques ordinaires, et les opérations effectuées sur eux se réduisent à des opérations du plan inférieur sur leurs éléments ; d’autre part, la restitution du système initial (objets et opérations) par élimination des idéaux : la partie réelle d’un nombre complexe étant nulle, on retrouve les opérations sur les nombres réels. La première condition assure le libre passage de bas en haut : quel que soit le degré d’abstraction établie, il est toujours possible d'atteindre un objet particulier et de donner à une opération son sens concret de système plus ou moins compliqué d’opérations sur les entiers. La 2€ garantit l'unité de haut en bas : dans son progrès formel, la mathématique doit conserver chaque fois, comme cas particulier, l'étage inférieur plus concret qu’elle vient de quitter. Dans le cas du tiers exclu, l’opération intuitive est le raisonnement mathématique en général, le point de départ, l’arithmétique vulgaire finie où les objets sont des collections de barres verticales, les opérations, adjonction itérée d’une unité, leurs propriétés (associativité, distributivité, commutativité, a + b — b + a) des constatations expérimentales. Dès que l’on va plus loin, en effet, même en théorie élémentaire des nombres, apparaît la référence à l'infini des entiers et, comme conséquence, les problèmes non résolus (théorème de FERMAT), avec une possibilité permanente

98 LA ZONE MÉTAMATHÉMATIQUE

d'en créer de nouveaux (décimales de x, etc.) : impossibilité de l'application du tiers exclu. La solution est une formalisation totale des raisonnements dans la mathématique tout entière, grâce à la logique symbolique, «toute préparée à cet effet en vertu d’une harmonie préétablie » (1) : il n’y aura plus que jeu mécanique de signes. Les conditions de liaison sont satisfaites, l’une, en principe, par l'édification de la mathématique intuitionniste de BROUWER (HILBERT ne semble pas se préoccuper ici de préciser), l’autre effectivement par la démonstration de la non contradiction formelle du système symbolique (?). Celle-ci consiste, en effet, dans l'impossibilité d’y obtenir toute formule : lorsqu'il contient la logique classique, d’obtenir, en particulier, une formule et sa négation. Puisque le système symbolique doit traduire toute la mathématique finie, les propositions que celle-ci décide vraies y seront évidemment démontrables, donc leurs négations, 0 0, par exemple, ne pourront apparaître en conclusion d’un raisonnement formel : par l'élimination des idéaux, si le système est non contradictoire, on retrouvera donc exactement les résultats de la mathématique intuitive.

Enfin, reste à préciser la zone de pensée effective : chaque adjonction d’idéaux n’a pour but que de libérer celle-ci dans la région concrète corrélative du signe. La formalisation de l’ensemble des mathématiques procure ce système général de tous les signes et, en regard, cette intersection des domaines intuitifs que réclamait l’usage rationnel. La métamathématique, ou théorie de la démonstration, devient la science véritable : ses objets seront les assemblages de signes ou formules, leur organisation en unités de dépendance ou théories. C’est dans le groupement de celles-ci, l’adjonction d’axiomes, l'épreuve de leurs fécondités relatives que con-

(OPEN 70 (2) HizBErT (XIÏ), p. 73.

LA ZONE MÉTAMATHÉMATIQUE 09

siste le travail réel, capable de procurer une vérité. La pensée est d’ailleurs toujours sûre d’elle-même, puisque la pleine conscience accompagne chacune de ses démarches, en nombre fini : les exigences intuitionnistes sont ici rigoureusement satisfaites. L’arithmétique élémentaire primitive est utilisée : progrès sur le mémoire de 1904 où il était encore question de la formaliser, et réponse aux objections de PoINCARÉ qui voyait dans l'intuition du nombre pur — sur laquelle se base j’induction compiète — un irréductible logique, recours inéliminable à la suite infinie des entiers. L’induction véritable — et devant être formalisée — qui permet d’énoncer des propositions portant sur une totalité infinie, n’a rien à voir avec l'induction utilisée en métamathématique qui procède de proche en proche et ne fait que résumer les résultats acquis que l’on pouvait reprendre individuellement. Logique et mathématique subissant un sort commun sont également réparties entre les domaines du formalisme et de l’intuition, la séparation ne s’effectue plus entre elles mais porte sur leur mixte où il était vain de vouloir les isoler.

Ainsi se trouvent supprimées les difficultés qui venaient, chaque fois, d’une confusion entre raisonnements mathématiques et métamathématiques : les distinguer avec soin est le premier rôle de la théorie de la démonstration. L’eftort est nécessaire, car, contrairement au cas des adjonctions ordinaires d’idéaux — et ici « la comparaison boite un peu » (1) — d’une part le système formel doit être total, d'autre part le domaine primitif avait été déjà débordé par une mathématique classique passant outre aux obstacles et se constituant en formalismes partiels, situation analogue, si l’on veut, à celle de la théorie des nombres réels antérieurement aux définitions de DEDEKIN"-WEIERSTRASS. — À la fois avec ce qu’elle est sous cette forme et avec l'exigence de son

(1) HEYTING (IV), p. 56.

100 LES DEUX FORMALISMES

progrès indéfini, il importe de préciser le rapport : d’où la divergence entre ce que HEYTING appelle le formalisme yadical de von NEUMANN et la théorie propre de Hit- BERT (1). Pour le premier, les possibilités d’un système formel étant illimitées (par la libre adjonction de symboles et de règles), la mathématique historique ne sera qu’un principe de choix entre elles : son devenir reste inexpliqué, la théorie de la démonstration n’a pour but que de montrer après coup la solidité de ses résultats par une traduction dans des formalismes non contradictoires. L’insuccès de l'opération est preuve d’erreur, son succès ne justifie pas l'essentiel, il n’y a que mise en correspondance de deux processus extrinsèques. HILBERT, au contraire, voit dans les formules « des images de pensées » (2) : en édifiant son formalisme, il ne fait que pousser à bout les méthodes et les raisonnements qui engendrent effectivement les théories, s’il n’y a pas coïncidence avec la mathématique historique (qui n’emploie pas les signes logiques, etc.), c’est que celle-ci comporte inadvertances ou raccourcis relevant d’un contingent pur : en droit, il n’y a d'autre mathématique que la formelle et son corrélat métamathématique, elles ne sont « que le protocole des règles d’après lesquelles notre entendement procède effectivement » (5). Le progrès est dû à la considération intuitive des objets-théories — avec tout ce qu’elle comporte d’imprévisible — et se traduit par l’adjonction de nouveaux axiomes. Reste à établir dans le détail cette étroite correspondance, à donner aussi exemple du caractère métamathématique d’un mouvement en avant, enfin à prouver que la condition ordinaire à l’adjonction d’idéaux est bien réalisée. Ce seront les trois principales tâches entreprises dans l’école hilbertienne : démonstration de non con-

(x) Tbid., p. 51-52.

(2) HiLBERT (X), p. 153.

(3) HiLBERT (XII), p. 79.