DÉFINITIONS DESCRIPTIVES F

tion arithmétique de même nom sur les mesures des ensembles utilisés, de sorte que tout ensemble ainsi défini possède une mesure donnée par sa construction. LEBESGUE au contraire pose le problème i# abstracto (1) : à tout ensemble de points E, peut-on attacher un nombre positif ou nul m (E) satisfaisant aux trois conditions :

1° deux ensembles égaux ont même mesure ;

29 l’ensemble somme d’un nombre fini ou infini dénombrable d’ensembles sans points communs deux à deux a pour mesure la somme des mesures :

3° la mesure du segment o rest tr.

On voit sans peine que pour les ensembles mesurables B la solution est précisément donnée par la mesure telle que la définit BOREL. Bien plus, étant donné un ensemble quelconque E, il est contenu dans un ensemble E,, et contient un ensemble E,, tous deux mesurables B et possédant la même mesure. Mais « le principal avantage qu’i y a à raisonner sur les ensembles mesurables [c’est-à-dire tous ceux pour lesquels le problème précédent admet une solution] et non sur les seuls ensembles mesurables B, ce n’est pas qu'on envisage ainsi une classe plus vaste d ensembles, mais c’est qu’on part de la propriété capitale des ensembles auxquels on peut attacher une mesure et non d’un procédé de construction en perpétuel devenir » (2). On sait en effet les développements considérables que cette théorie de la mesure et celle de l'intégration qui en découle ont reçus en analyse générale. Ils proviennent de l’allègement procuré par le caractère descriptif de la définition : seul importe ce qu'elle nomme, tandis qu’une construction qui n’a rien à voir avec le problème posé ne pourrait qu'alourdir ou restreindre arbitrairement. C’est en quelque sorte l’homogénéité des maté-

(1) LEBESGUE (I), p. 111.

(2) Tbid., p. 1170.