DÉFINITIONS DESCRIPTIVES

riaux d’une entreprise, la simultanéité de la mathématique avec son travail présent qui se trouvent ici affirmées : empirisme encore puisqu'il ne s’agit que de décrire le travail eftectif, mais empirisme de la pensée en acte, sans autre référence que le devenir imprévisible des mathématiques. Les modes de définition sont abandonnés aux variations et aux exigences de son mouvement : à chaque nouvelle acquisition paraissent d’ailleurs de nouve.les possibuités. L’enrichissement du nommable coïncide avec l’enrichissement même de la science.

SIERPINSKI a étudié (:) comment codifier les définitions d’ensembles soumises à cette règle ; on peut en faire une sorte de superposition progressive analogue à celle des fonctions récurrentes d’entiers. Avec comme base la suite d’ensembles Æ;, E; … on prendrait comme première fonction la somme d’une suite partielle quelconque ÆE,,, E,,, …,

h (ES E, Fa — Vue + E,; —- ….

Puis d’une façon générale :

fe (Er Ps SR ESE re)

f, étant une fonction déjà introduite. La caractéristique de chaque fonction est chaque fois le choix du système m dans la suite des entiers. On pourrait faire intervenir au lieu de la somme, l'intersection. HAUSDORFF généralise en utilisant dans la définition même les ensembles déjà définis (2) :

fu (E1,E3 Es.) =3E, E,..

où la somme > est étendue à toutes les suites de nombres naturels telles que le point x représenté par le développement :

(x) SIERPINSKI (III).

(2) HAUSDORFF (II).

ENSEMBLES PROJECTIFS 19

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appartienne à l’ensemble J{. Ainsi pour les ensembles projectifs. On voit qu’une large partie de la théorie naïve des ensembles peut être atteinte : si large qu’on peut se demander si les paradoxes sont bien éliminés.

Un premier paradoxe est la possibilité de nommer des ensembles dont on ne puisse décider si un objet donné leur appartient ou non. SIERPINSKI a donné l'exemple d’un ensemble æ de fonctions d’une variable réelle qui comporte sûrement des éléments, mais tel qu'étant donné une fonction bien définie il faudrait, pour décider de son appartenance à ®, avoir résolu le problème du continu. D'une façon générale, si on a pu nommer deux ensembles E, non vide et FE, dont on ne sait s’il est vide ou non, ilsuffit de définir l’ensemble ÆE égal à Æ, si E, est vide, à E;, dans le cas contraire : étant donné un objet quelconque, impossible de savoir s’il appartient ou non à E. Or, on a des exemples d’encembles tels que E, dans la théorie des ensembles projectifs : à partir d’un ensemble de BoREL de classe 3, LUSIN réussit à nommer, grâce à un petit nombre des opérations géométriques élémentaires : projeter et prendre le complémentaire, ce qu’il appelle les ensembles-résolvantes de problèmes connus (problème. du continu, etc...) : si l’on savait nommer un élément d’un de ces ensembles, on aurait par exemple numéroté du même coup les points du segment o ... I au moyen de la totalité des ordinaux de la classe II. C’est la réponse à une question posée par BOREL en 1908 : «est-il ou non possible de définir un ensemble E tel qu’on ne puisse nommer aucun élément individuel de E, c’est-à-dire le distinguer de tous les autres éléments de E ». On ne sait même pas affirmer s’il existe un élément de Æ. La raison est claire : c’est dans l'acte de nommer, l'intervention de notions hétérogènes comme définition analytique d’un ensemble et opérations géométriques sur cet ensemble. Projeter, prendre le com-

20 PARADOXE DE LUSIN

plémentaire d’un ensemble ont en général comme corrélat analytique des complications insurmontables : or, pour savoir si le complémentaire de la projection de M est vide ou non, on ne peut se passer de la définition analytique de M.

Fre 1:

Les objets nommables peuvent donc être insuffisamment déterminés. Ainsi LUSIN « considère comme insoluble la question de savoir si tous les ensembles projectifs sont mesurables ou non, puisque à son avis les procédés mêmes de définition des ensembles projectifs et de la mesure au sens LEBESGUE sont des virtualités incomparables ». Est-on même sûr que des contradictions ne peuvent apparaître ? L’hétérogénéité entre propriétés également nommables laisse la possibilité que leur juxtaposition soit contradictoire. Dans des cas privilégiés la présence d'exemples (effectivement construits) peut assurer contre ce danger. Mais pour nommer une fonction non représentable analytiquement — et par suite un ensemble non mesurable B — LEBESGUE utilise par exemple la totalité de la classe IT, qui est elle-même considérée comme nommée. Elle est sans doute caractérisable de façon univoque : un raisonnement où elle intervient n’en paraît pas moins assez obscur — sinon dangereux : est-on sûr qu’elle ne soit pas contradictoire en tant que totalité (:) ? Au moins la différence de sécurité — ou de sens qu’on puisse saisir — entre un tel

(1) Cf. à ce sujet les doutes récents de LusiN et de SIERPINSKI, liés aux travaux sur les ensembles analytiques et projectifs in LusiN (II) et (III) et SIERPINSKI (III).

raisonnement et ceux qui font appel à l’axiome de choix n'est pas éclatante : pour nombre de mathématiciens même l'avantage serait plutôt en faveur de ceux-ci.

Ainsi une position moyenne entre empirisme et idéalisme semble difficile à tenir. Bien plus, une limitation quelconque du champ mathématique tirée de considérations purement mathématiques — comme faisaient BOREL et LEBESGUE -— apparaît impossible : c’est l’imprévu d’un problème, le détour d’une application qui rendent vaine la règle de sécurité ou obligent qu’on l’abandonne. Il semble qu'ici la réflexion critique sur l'essence même du travail mathématique et la notion d'objet soit une condition préalable nécessaire. La dualité entre construction analytique et opération géométrique, les différents sens même de ces deux expressions que les profonds travaux de l’école BOREL.- LEBESGUE ont fait apparaître, comme la multitude des problèmes cachés sous le mot définition obligent à une révision systématique, et à une régression qui conduit à creuser au delà du mathématique proprement dit, dans le sol commun de toutes les activités rationnelles.

La théorie de la raison dépend d’ailleurs d’un tel travail : l’histoire montre la liaison étroite entre semblables conflits techniques et les systèmes édifiés par les philosophes. L’actuelle difficulté trouve sa préfiguration chez DESCARTES, LEIBNIZ et KANT à partir desquels on peut mieux saisir son évolution. Dans les Regulæ le nombre et l’étendue sont au même titre des natures simples, dans les Méditations des notions possédant égale clarté et distinction. Mais qu'est-ce que l’idée d’étendue ? La séparation de l’âme et du corps a son contre-coup dans la méthode même de la science, comme le fait remarquer L. BRUNSCHVICG : « pour que la pensée constitue la science de la nature selon l’ordre même

J. CAVAILLÈS 2

de la nature, il faut qu’elle puisse, en suivant la connexion de ces idées, dérouler l’enchaînement des choses ; il faut donc que la pensée comprenne comme appartenant au domaine de son activité cette même notion de l’étendue, tellement distincte de la notion de la pensée que l’attribut de l'étendue et l’attribut de la pensée marquent deux sortes différentes de substances » (1). L’imagination est tout entière rejetée du côté du corps : «lorsque j'imagine un triangle, non seulement je conçois que c’est une figure composée de 3 lignes, mais avec cela j'imagine ces 3 lignes comme présentes par la force et l’application de mon esprit. Que si je veux penser à un chiliogone, je conçois bien à la vérité que c’est une figure composée de 1.000 côtés aussi facilement .. mais je ne puis imaginer les 1.000 côtés... » (?) L'idée claire et distincte est donc uniquement intellectuelle, l'imagination n'étant « autre chose qu’une certaine application de la faculté qui connaît au corps qui lui est intimement présent ». Double danger : techniquement l’arithmétieme, philosophiquement l’impossibilité « de justifier une science qui, ayant sa valeur intrinsèque dans sa conformité stricte à l’ordre de la pensée, puisse s'appliquer d’une façon directe à un univers complètement dépourvu de pensée » (#). L’un et l’autre n'ont été évités que partiellement, amorce de la séparation opérée par MALEBRANCHE entre étendue intelligible et étendue locale, avec les faciles accommodements de la théorie des substances : «pour ce qui est. de l'étendue, la figure. il est vrai qu’elles ne sont point formellement en moi, puisque je ne suis qu’une chose qui pense, mais parce que ce sont seulement de certains modes de la substance et que je suis moi-même une substance, il semble qu’elles puissent être contenues en moi éminemment » (t) ; du moins

(1) L. BruNscavicG (I), p. 129.

(2) 6° Méditation, ADAM TANNERY, Œuvres de DESCARTES, t. IX, D 57 (3) L. BRuNscuavice, ibid.

(4) 3° Méditation, L. c., p. 35.

comme conséquence la physique relativiste des Principes où le caractère imaginatif des explications est en raison inverse de leur valeur explicative. La seule véritable science semble celle où règne le nombre, dans l’espace les seules courbes dont nous ayons une idée, celles que représente une équation algébrique : c’est l'équation qui est l’idée. Elimination des courbes mécaniques : «lignes qui ressemblent à des cordes, c’est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue et même je crois ne le pouvant pas être par les hommes, on ne pourrait rien conclure de là qui fût exact et assuré » (1) ; exclusive qui, modifiée, devait se prolonger jusqu’à la fin du xvirie siècle avec, à propos du problème des cordes vibrantes, le débat sur la continuité eulérienne et sur la notion de fonction arbitraire. LEIBNIZ pouvait railler chez DESCARTES avec l’étroitesse des assises et la pauvreté des méthodes, cette « présomption... mesurant les forces de toute la postérité par les siennes » (?). Toutefois ni relativisme, ni arithmétisme ne sont complets : l’idée d’un triangle n’est pas son équation, mais, comme l'indique le texte des Méditations, la règle pour le bâtir (*). La dualité de l'esprit et d’un donné, extérieur à lui mais auquel il peut s'appliquer pour le connaître, est le fait primordial du rationalisme cartésien. La science n'est pas reconstruction mais mise en ordre : nulle part on ne trouve pour l'étendue un essai de définition exhaustive. Les relations métriques sont privilégiées parce que plus facilement maniables, mais l'important est, de quelque façon que ce

(1) Géométrie, ADAM TANNERY, t. VI, p. 412.

(2) Lettre à PuictpPr, janvier 1680, cité par BRUNSCHVICG, le, DIE?

(3) De même pour les courbes : « on ne doit pas exclure les lignes les plus composées pourvu qu'on les puisse imaginer être décrites par un mouvement continu ou par plusieurs qui s’entresuivent et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent : car par ce moyen on peut toujours avoir une connaissance exacte de leur mesure ». bid., p. 390. La prédominance du métrique reparaît.

soit, d'établir des rapports, de se mouvoir de façon autonome le long de leurs enchaînements. C’est l’acte de penser qui est pensée, son objet pas : l’intuition n’est intellectuelle qu’en tant que claire et distincte, caractères extrinsèques à la spécificité des objets sur lesquels elle porte. Ainsi la méthode universelle déborde le succès de fait d’une méthode particulière, puisqu'elle vise seulement ordre et évidence qui n’ont pas de canon. Mais le problème est escamoté, dans la confiance que la méthode trouve partout à s'appliquer ; 1l n'y à pas de définition des mathématiques : elles sont science de l'étendue et toute pensée de l’étendue est mathématique. Le rapport des éléments, nombre, grandeur linéaire est abandonné à un optimisme de supposition, la limitation de la connaissance, même mathématique, acceptée grâce à l’image théologique de l'infini.

Malgré le calcul infinitésimal, celle-ci joue encore un rôle dans le leibnizianisme. Le fil conducteur dans le labyrinthe du continu est la distinction entre la pluralité discrète des substances, seule réalité dans la volonté divine, et la continuité phénoménale de leurs liaisons spatio-temporelles. « L’étendue, la figure et le mouvement enferment quelque chose d’imaginaire et d’apparent et quoiqu’on les conçoive plus distinctement que la couleur et la chaleur, néanmoins. on trouve que ces notions ont encore quelque chose de confus .. et je tiens pour démontrable qu'il n’y a pas de figure exacte dans les corps (1). » L’exigence que tous les jugements soient de prédication fait de l’étendue le résultat de la diffusion de l’attribut étendu «comme dans le lait il y a diffusion de la blancheur » (2) ; attribut d’ailleurs dont le concept se révèle composé « cum resolvatur in pluralitatem quam communem habet cum numero, continuitatem quam cum tempore, coexistentiam quam cum rebusetiam non ex-

Es

(1) Lettre à FOUCHER, vers 1688, GERHARDT Phil. Schr., 1, p. 302 (2) Examen des principes de MALEBRANCHE, 1711. ERDMANN, p. 693.

tensis » (*}. Ainsi la difficulté se scinde : si l'intuition primitive n'est plus qu’un « phénomène bien fondé », la mathématique reste à son niveau ; d’une part le problème du fondement sera résolu par une réduction virtuelle du mathématique au logique ; d’autre part les rapports entre quantité continue et systèmes discrets sont transportés du plan mathématique au plan métaphysique. La mathématique n’est que la science des rapports idéaux : dans la volonté divine tout est affirmé d’un seul coup, il n’y a pas de nombre de la totalité des monades, un nombre infini étant d’ailleurs contradictoire. Ce n’est que dans l’entendement divin, c’est-àdire de façon hypothétique, qu’apparaissent les rapports, ils ne sont rien de réel, comme le nombre, attribut «ayant une jambe en deux sujets ». Dans la mesure où la mathématique affirme, elle ne fait qu’expliciter des axiomes ou des définitions : tout se réduit comme fondement aux combinaisons indéfiniment variées d’un système primitif de notions simples. Quelle qu’ait été historiquement pour les mathématiques la valeur heuristique d’une telle représentation, le problème ici posé n’en reçoit pas la moindre solution : d’une part n’est indiqué ni le mode d’une intuition des notions simples, ni un critère à quoi reconnaître leur simplicité, et l’idée d’une combinaison entre notions radicalement simples est inpensable, sous tendue en réalité par l’image de la combinaison spatiale de leurs symboles. D'autre part la confiance en une multitude préalablement donnée supprime au profit de la quantité discrète, la quantité continue qui ne possède d’autre réalité que d’en être l’abrégé ; tout revient toujours à faire passer par les points d’un ensemble une ligne continue « dont un esprit fini peut comprendre la définition. L'esprit peut en concevoir et mener par l'imagination à travers des corps (ou des systèmes de points) de quelque

(x) L. à de VoLDER, GERHARDT, II, p. 183.