L'EXPÉRIENCE DIALECTIQUE

Mais où situer les expériences, à quoi reconnaître l’existence effective des objets ? Le problème est insoluble si l’on conserve l’ontologie non critique admise implicitement dans la plupart des discussions, la dualité d’un monde sensible en soi et d’une pensée confondue avec des manifestations historiques. D'où le recours à PLATON, la référence à un système intelligible, garantie objective de la conscience empirique: il y a plutôt reconnaissance de l'impossibilité de s’en tenir au système des objets effectivement construits, affirmation d’une complexité de la notion d’existence mathématique, qu’indication vers une solution —- à moins d'admettre une intuition intellectuelle qui, sans jouer de rôle dans le travail mathématique proprement dit, interviendrait pour rendre plausible un système d’axiomes, appréhender l’harmonie d’une théorie déjà construite et échappant à toute démonstration de non contradiction comme la théorie des ensembles dans l’axiomatique Zermelo-Fraenkel. Il semble plus sûr de ne pas rompre, même pour une justification, l’enchaînement avec les démarches de la conscience empirique depuis l’origine. « L'analyse mathématique — écrit L. BRUNSCHVICG —.. est une suggestion de l'expérience pour l’extension de l’expérience elle-même » (1). I] n’y a rien de si peu historique — au sens de devenir opaque, saisissable seulement dans une intuition artistique — que l’histoire mathématique. Mais rien d'aussi peu réductible, dans sa singularité radicale. Si la nécessité de la configuration des théories en un temps donné est douteuse — même retranché le contingent sociologique de leur expression — s’il est possible de feindre actuellement une ou plusieurs théories absentes, tout le reste étant conservé — encore que ce ne soit peut-être que par ignorance de relations cachées entre problèmes, on ne peut envisager le tout comme un système arbitraire de théories juxtapo-

(1) L. BruNscHvIcG (I), p. 570.

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sées, la place ou la présence de l’analyse, par exemple, ou de l’arithmétique étant indifférente. I1 n’y a pas de définition et de justification d'objets mathématiques qui ne soit les mathématiques mêmes, c’est-à-dire, comme faisait BROUWER, déroulement de leur histoire depuis la dyade, avec cette différence, d’une part que le déroulement est unique, tandis qu’il y a pour BROUWER, semble-t-il, un arbitraire des créations, d'autre part qu’il n’est pas situé dans une région de la conscience, caractérisée par une intuition swi generis (ce qui donne leur validité aux créations). L'intuition ici en cause n’est que le prolongement de l'intuition sensible véritable non figée dans les premiers stades d’une conscience fragmentaire : l'élargissement de la conscience et le développement dialectique de l’expérience coïncident. Ils donnent lieu à l’engendrement indéfini des objets dans ce que nous appellerons le champ thématique : on a vu quelques-uns de ces processus d’engendrement, les différentes sortes de généralisations, les formalisations auxquelles s’ajoute la fhématsation proprement dite : transformation d’une opération en élément d’un champ opératoire supérieur, exemple topologie des transformations topologiques (essentielles d’une façon générale en théorie des groupes) (1). Trois sortes de moments dialectiques — d’après une classification obligatoirement grossière et non exhaustive — en réalité chacun incomparable aux autres, dans l'originalité de la situation mathématique où il naît.

La nécessité de l’engendrement d’un objet n’est jamais saisissable qu’à travers la constatation d’une réussite ; l'existence dans le champ thématique n’a de sens qu'en tant que corrélat d’un acte effectif. Ainsi pour le corps des nombres réels : les définitions non prédicatives y sont comme on l’a remarqué (?) inoffensives si on suppose posée

(1) Voir les analyses de ceci dans LAUTMANN (IT). (2) Voir par exemple FRAENKEL (IV) p. 253.

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l'existence du corps tout entier ; pour celui-ci la possibilité de réalisation des opérations de l’analyse classique est le seul critère : la question du sens d’une opération telle que la posent les intuitionnistes émane du préjugé — d’ontologie non critique — que l’objet doit être défini antérieurement à l'opération, alors qu’il en est inséparable. Doublant le champ thématique se trouve le système des méthodes impossibles à préciser autrement que par l'intuition centrale qui dirige les variations de leurs applications et qui constitue l’unité profonde—- mais cette fois saisissable dans l'action — d’une théorie : tels le calcul desarguien en géométrie projective élémentaire, le procédé général de la diagonale ou la linéarisation dans la théorie de Cantor, le procédé de la chaîne pour DEDEKIND ; comprendre est en attraper le geste, et pouvoir continuer. — La dualité objet — procédé d’action sur lui est le masque du dépassement dialectique d’une méthode par une autre, les objets posés indépendamment de la seconde étant les corrélats de la première. Quant au moteur du processus, il semble échapper à toute investigation : c’est ici le sens plein de l’expérience, dialogue entre l’activité consciente en tant que pouvoir de tentatives soumises à des conditions et ces conditions mêmes. Distinguer l’une comme entendement, les autres comme sensibilité n’avancerait que si, d’un côté au moins, une structure était possible à préciser. Abandonné le primat des catégories injustifiables, il ne reste qu’une dualité de droit, impossible à actualiser puisque l’imprévisibilité de la synthèse est la définition de son existence. Ce n’est, ici même, qu’en allant au bout de la formalisation — en particulier en formalisant la syntaxe dans la langue —, qu'on à pu savoir ce qu'était un système formel, apercevoir les limites du procédé. Mais le sensible, conscience concrète immédiate, n’est pas abandonné : ce n’est pas le quitter que d’agir sur lui (tout objet abstrait, obtenu, par exemple, par thématisation, est un geste sur un geste …