T CT

v* étant la valeur moyenne des quatrièmes puissances des erreurs dont le poids est l'unité, et N la somme

(«a+ b$ -hey -h.. (a' <*' + b'$'-hc'y' + . ..)'

Cette somme ne peut pas, en général, se simplifier 5 mais, par un procédé analogue à celui dont on a fait usage au paragraphe^ du premier Mémoire, on peut montrer que sa

valeur est comprise entre xs et ^ Dans l'hypothèse sur laquelle nous avions primitivement établi la méthode des moindres carrés , le terme qui contient cette somme disparaît à cause de

et la précision que l'on doit attribuer à la détermination

est par conséquent la même que si l'on avait opéré sur u observations entachées d'erreurs exactement connues, conformément aux préceptes des art. 15 et 10 du premier Mémoire.

Pour la compensation des observations, il y a, comme nous l'avons dit, deux opérations à exécuter: premièrement, il faut déterminer les corrélatifs des équations de condition, c'est-à-dire A, B, C , etc., qui satisfont aux équations (12) -, secondement, substituer ces quantités dans l'équation (10). La compensation ainsi obtenue peut être dite parfaite et complète, par opposition à la compcnsaiion imparfaite ou incomplète. Nous désignerons de celte der-

nière manière celles qui résultent des mêmes équations (10), dans lesquelles on substituera des valeurs de A, B, C qui ne satisferont pas aux équations (12)» c'est-à-dire qui satisferont à quelques-unes seulement, ou à aucune. Nous ne nous occuperons pas ici d'un tel système de corrections, et nous ne leur accorderons même pas le nom de compensation.

Lorsque les équations (10) sont satisfaites, les systèmes (12) et (i3) deviennent équivalents, et la différence dont nous parlons peut alors s'énoncer comme il suit : Les observations complètement compensées satisfont aux équations de condition

les observations incomplètement compensées ne satisfont qu'à une portion de ces équations, et peut-être à aucune; la compensation à la suite de laquelle toutes les équations sont satisfaites, est nécessairement complète.

Il résulte de la définition même des compensations, que la réunion de deux systèmes de compensations peut en fournir un troisième, et l'on voit qu'il importe peu que les règles données pour obtenir une compensation parfaite soient appliquées aux observations primitives ou aux observations déjà imparfaitement compensées.

Soient — 0, — 0', — 0", etc., un système de compensations incomplètes, résultant des formules

/ 07? r= A 0 * -hWb +C°c -h .., ) 0>' - A 9 a' 4- B° b' CV +. . ., 1 ] J &"p" r= A 9 a" -4- B°6" -h CV -h . . ,

Les observations ainsi changées ne satisfaisant pas à toutes les équations de condition, soient iJ!>*, C*, etc., les valeurs que prennent X, Y, Z, etc., quand on y substitue les valeurs ainsi obtenues pour y, v\ v" etc. On devra chercher les valeurs A*, B*, C*, etc., satisfaisant aux équa-

lions

X* = A* (an) -h B* (ah) -h C* (ac) -f- . . . , i)l>* = A* (ni) + B* (M) -f- C* (bc) -h . . . , G* = A* (ac) B* (bc) -h C* (ce) H- . . . ,

et cela fait, la compensation complète des observations ainsi modifiées se fera par les nouveaux changements — x, ■ — x', — x", etc.; x, x', x", etc., se déduisant des formules

/ v.p = A*rt 4- B*£ -f- C*c -h. . ., . J x>' = A*«'4-B*A' -f-tfV

Cherchons commentées corrections s'accordent avec la compensation complète des observations primitives. Il est clair d'abord que l'on a

JL* = X -aiè-a'e'- a"0"-..,, «I* = dî, — Z>0 — £'0' — b"(d" . , G* = C — c0 — c'0' — c"0" —

En substituant dans ces équations, pour 0, 0', 0", etc., leurs valeurs fournies par le système (I), pour V, ifc*, G*, etc., celles que donne le système (II), il vient

X = (A°H-A*) (an) H- (B° -f- B*) (ab)-h..., .Ub = (A°-*-A*) (ab) 4-(B°-hB*) (bb)+..., G = ( A 0 H- A*) ( ac ) + (B° -h B*) ( bc) -h . . . ;

et il suit de là que les corrélatifs des équations de condition (i a) sont

et alors les équations (to), (I) et (III) montrent que l'on a

et, par suite, la compensation parfaite a la même valeur pour chaque inconnue, soit qu'on la calcule directement, soit qu'on l'obtienne médiatement en partant d'une coin-" pensation incomplète.

Lorsque les équations de condition sont très-nombreuses, la détermination des quantités corrélatives A, B, C, etc., peut exiger des calculs tellement longs, que le calculateur en soit rebuté-, il pourra être avantageux d'obtenir, dans ce cas, une compensation complète, à l'aide d'une série d'approximations reposant sur le théorème de l'article précédent. On partagera, pour cela, les équations de condition en deux ou plusieurs groupes, et Ton cherchera d'abord une compensation qui rende satisfaites les équations du premier groupe. On traitera ensuite les valeurs modifiées par ce premier calcul , et on les corrigera de nouveau en ayant égard seulement aux équations du second groupe. Ce second calcul donnera des résultats qui , en général, ne satisferont plus aux équations du premier groupe, et il faudra, si l'on n'a formé que deux groupes, revenir alors au premier et y satisfaire à l'aide de nouvelles corrections. Les observations seront ensuite soumises à une quatrième compensation , dans laquelle on n'aura égard qu'aux conditions du second groupe 5 et en opérant ainsi alternativement sur l'un et l'autre groupe d'équations, on formera des corrections qui seront nécessairement de plus en plus petites. Si le choix des groupes a été fait habilement, on arrivera bien vite à des valeurs que les corrections ultérieures ne changeront plus.

Quand on forme plus de deux groupes, on doit procéder de la même manière, les divers groupes étant employés successivement jusqu'au dernier, après quoi ou revient au premier pour les reprendre dans le même ordre. Il nous suffit d'avoir indiqué ce procédé, dont la réussite dépendra beaucoup de l'habileté du calculateur.

Il nous reste à donner la démonstration du lemme admis

dans l'art. 8. Adoptons, pour plus de clarté, des notations plus propres à mettre la démonstration en lumière.

Soient x f , etc., des indéterminées-, supposons que les équations

n njcO -f- x > 4 „« x " | , . . — X",

aient donné, par élimination , les suivantes :

N"X°-+- N 4 «X'-f- N"X"+ ...= *% IV'X 0 -f- N" X' -h N i: X"+...= x', N 20 X' -h N" X' 4- N M X" -h ... — x",

En substituant, dans les deux premières équations du second système, les valeurs de X°, X', X", etc., fournies par le premier, nous obtiendrons deux équations identiques :

x° = N 00 (« 09 x° -+- x' ■+- x" -j- . . . ) H- N 01 («'•x° H- «'«x' H- n"x" H- . . ,) ■4- N" («" x° H- « 2I x' -h x" -H • . . ) -h N" (/î 39 x° fl 31 x' -H « M H- . ■ . }

Ces équations étant identiques , on peut y substituer telles quantités que Ton voudra à la place de x 0 y x f i x", etc. Faisons dans la première

et dans là seconde

En retranchantensuite les deux identités membre à membre, o. 7

il viendra

N" — N 8 ' = (N M N" — N" jN°') (/*•' — «'•) + (N»» N" — N' 9 N") (/!" — (N« N' 3 — N'» N» 3 ) («•» — /i M )

Ce que Ton peut écrire plus brièvement de la manière suivante :

or, (3 désignant deux indices pris au hasard } on conclut de là que les égalités

et, généralement , entraînent nécessairement

et, comme l'ordre des indéterminées est arbitraire, il est évident que, dans la supposition admise, on aura généralement

La méthode exposée dans ce Mémoire devant surtout s'appliquer utilement aux calculs de haute géodésie, le lecteur nous saura gré d'y joindre quelques exemples puisés dans cette partie de la science.

Les équations de condition qui existent entre les angles d'un système de triangles, peuvent, en général, se partager en trois catégories.