La somme des angles horizontaux , formés autour d'un

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même sommet et embrassant la totalité de l'horizon , doit être égale à quatre droits.

II. La somme des angles de chaque triangle peut toujours être regardée comme connue -, car, lors même que le triangle est situé sur une surface courbe, l'excès de la somme de ses angles sur deux droits peut être calculé avec une telle approximation, qu'il est permis de considérer le résultat comme absolument exact.

III. Enfin , on obtient un troisième genre de relations en examinant les rapports des côtés dans les triangles qui forment un réseau fermé. Si, en effet, les triangles sont tellement placés, que le second triangle ait un côté a commun avec le premier, et un côté b commun avec le troisième; si le quatrième triangle a deux côtés c et d respectivement communs avec le troisième et le cinquième, et ainsi de suite, jusqu'au dernier triangle, qui ait avec le précédent un côté commun h , et avec le premier de tous un côté commun /, les quotients

rc h c d l l a b c A

pourront se calculer au moyen des angles qui leur sont opposés dans le triangle dont les deux côtés comparés font partie , et comme le produit de ces fractions est évidemment l'unité, on aura une relation entre les sinus des divers angles mesurés (diminués du tiers de l'excès sphériqueou sphéroïdique lorsqu'on opérera sur une surface courbe). Du reste, dans les réseaux un peu compliqués, il arrive souvent que les équations de la seconde et de la troisième catégorie rentrent en partie les unes dans les autres , et que, par suite, leur nombre doit être réduit. Au contraire, il pourra arriver, mais seulement dans des cas assez rares , que l'on adjoigne quelques équations nouvelles à celles de la seconde catégorie; c'est ce qui aura lieu lorsque le réseau contiendra des polygones non divisées en triangles; on

pourra alors introduire des équations relatives aux ligures qui ont plus de trois côtés. Dans une autre occasion , nous reviendrons avec plus de détails sur ces diverses circonstances, dont l'examen nous éloignerait en ce moment de notre but. Nous ne pouvons cependant nous dispenser de faire ici une remarque indispensable à ceux qui voudraient faire l'application rigoureuse de notre tbéorie : nous supposons toujours que les quantités désignées par y, v 1 v", etc. , ont été observées immédiatement, ou déduites d'observations telles, que leurs déterminations soient indépendantes les unes des autres, ou, au moins, puissent être regardées comme telles. Dans la pratique la plus ordinaire, on observe les angles que l'on peut regarder comme étant les éléments ^, i>', y", etc., eux-mêmes. Mais on ne doit pas oublier que si le système contient, en outre, des triangles dont les angles n'aient pas été directement observés et aient été déduits de ceux que Ton connaissait, par des additions ou soustractions, ces angles ne devront pas être mis au nombre des grandeurs déterminées par l'observation, et l'on devra les faire entrer dans le calcul comme des fonctions des éléments qui ont servi à les former. Il en sera autrement si l'on adopte la métbode d'observations de M. Struve [j4strono~ mische Nachrichten, II, page 43 1), qui consiste à déterminer toutes les directions autour d'un même sommet, en les rappor^nt toutes à une seule et même direction arbitraire. Les angles mesurés ainsi seront pris alors pour v , v\ t>", etc. , et les angles des triangles se présenteront tous comme des différences. Les équations de la première catégorie devront, dans ce cas, être supprimées comme superflues, car elles seront identiquement satisfaites. Le procédé que j'ai suivi moi-même dans les triangulations exécutées pendant ces dernières années , diffère des deux méthodes précédentes -, on peut cependant l'assimiler, quant au résultat, avec le procédé de M. Struve, en ce sens que, dans chaque station , on doit regarder y, v\ v" , etc., comme les angles formés

par les directions qui en partent, avec une même ligne arbitrairement choisie.

Nous donnerons deux exemples : le premier se rapporte au premier mode d'opération, et le second est relatif a des observations faites d'après la seconde méthode.

Le premier exemple nous sera fourni par l'ouvrage de M. Krayenhof : Précis historique des opérations trigonométriques faites en Hollande. Nous chercherons à cowpenserla partie des observations relatives au terrain compris entre Harlingen, Sneck , Oldcholtpade , Ballum , Lecuwardcn,.Doekuin , Drachten , Oosterwolde et Grôningen. Entre ces points , on a formé neuf triangles numérotés, dans l'ouvrage cité, 121, 122, 123 ,124, 126, 127, 1 r >8 , 1 3 1 , i32, Les angles observés sont les suivants :

Triangle 121.