Hauselberg
( ll >7 )
Ces observations permettent de former sept triangles.
Triangle I".
Falkenberg 8° o' 47 "*3g5
Breithorn . 28 . 1 7 . l\i , 299
Hauselberg. ...... 1 4^ • 4 1 • 2 9» ! 4°
Triangle H.
Falkenberg 86 . 27 . 1 3 , 323
Breithorn 55 . 44 • 54 » 345
Wilsede 37.47.53,635
Triangle III.
Falkenberg 4 1 4- I 6>563
H auselberg 102. 33 . 49 , 5o4
Wulfsode 36 . 2 1 . 56 ,963
Triangle IV.
Falkenberg 78.26 25,928
Hauselberg 68. 8. 2,75?.
Wilsede. 35 25.34,281
Triangle V.
Falkenberg 37.22.9, 365
Wulfsode ........ 73. i6.39,6o3
Wilsede.. 69.21.11,508
Triangle VI.
Breithorn 27 27.12,046
Hauselberg 148.10,28,108
Wilsede 4- 22 * I 9>354
Trianci.e VII.
Hauselberg 34.25.46,752
Wulfsode 1 09 38 . 36 , 566
Wilsede * 35.55.37,227
Nous avons ici sept équations de condition du second genre (il n'y a pas lieu évidemment d'eu former du premier •genre) \ pour les former, nous devons chercher, avant tout,
les excès sphéroïdiques des sept triangles, et pour cela il est indispensable de connaître la longueur d'un côté. Celui qui réunit Wilsede à Wulfsode est 22877™, 94. On en conclut, pour les excès sphéroïdiques des divers triangles : I...o",2oa; II. . .-/',442; III. . . i ff ,a575 IV . . . î^ojcj ; V...i",i)57; VI...o",32i\ VII... i",2 9 5.
Si Ton désigne par i> (0) , y (î) , i' (3) , etc., les angles qui déterminent les directions indiquées plus haut,' et marquées des mêmes indices, les angles du premier triangle seront
,,(3) — p<o , „(0 , 360 + 1»<»> — c( ,9 >, et la première équation de condition est par conséquent ~ m(î) 4- „(3) __ p (o + + „('o) 4. 179059' 59", 798= o.
Les six triangles restants fourniront six équations analogues, mais un peu d'attention montrera que ces équations ne sont pas indépendantes 5 la seconde est en effet identique avec la somme de la première, de la quatrième et de la sixième; la somme de la troisième et de la cinquième est identique avec celle de la quatrième et de la septième : c'est pourquoi nous négligerons la seconde et la cinquième. Au lieu des équalions restantes sous forme finie, nous écrirons ici les équations correspondantes (i3), en subsituant aux notations £, e', e", etc.. (o), (1), (2), etc. :
On peut obtenir, au moyen des triangles du système, huit équations du troisième genre, et pour cela il est permis de combiner trois des quatre triangles I , Il , 1 V, VI , ou des triangles III, IV, V, VII; cependant un peu d'attention m
montre qu'il suffit d'en considérer deux appartenant respectivement aux deux systèmes de triangles et que celles-là comprendront toutes les autres.
Nous aurons ainsi , pour sixième et septième équation de condition,
logsin( p(» — — 0V67) — Iogsin (p( j > — i>( 4 > — o",o67) -h Iogsin (o(" ' — ,»(»> o",64o) — logsin(p( î > — o",64o) 4-logsin(f( 6 > — yf*)— o",io7)— logsin(Mf ,î )— p( ,6 '—o",i07)=ro,
logsin(^>~ c(" o",4i9;— Iogsin (<,(»>—<,(">— o",4 19) + Iogsin (p( v (" ) — o w ,64o) — log sin (<>(» — »»(•> — o",64o) + Iogsin (f< ,3 >— <>(">— o",439.) — Iogsin (p(">— o ,/ ,43?.)=o,
auxquelles répondent les équations
Si nous attribuons la même certitude aux diverses directions, en supposant p {0) = p (i} = p (i) ... = 1 ,les corrélatifs des sept équations de condition étant désignés par A, B, C, D, E, F, G, leur détermination dépendra des équations suivantes :
— 0,750 = 4- 2 B — 2C + aD + 6E — 307,29F — 1 33,65 G
+ 25 = 184,72 A — i53,88B + i8i,ooC — 462,51 D
Nous en déduisons, par élimination,
et les erreurs les plus probables sont données par les formules
(0) = — C-h4,3iF H-4,3iG,
d'où Ton déduit les valeurs numériques suivantes :
La somme des carrés de ces erreurs est égale à 1,2288; l'erreur moyenne résultant des 18 directions observées est, par conséquent,
Afin de donner un exemple de la dernière partie de notre théorie, cherchons dans quelle précision les observations compensées déterminent le côté Falkenberg-Breithorn ,
au moyen du côté Wilsede- Wulfsode. La fonction m, par laquelle il est exprimé , est, dans ce cas,
fi m sin („(■») „<■») — p",652). sin (p("> — p("> — o»,8i4)
sa valeur déduite des observations corrigées est
La ditférentiation de cette équation fournit, en exprimant <iV (0) , etc., en secondes,
du = [ o™, 1 6991 ( rfp(«) ) — ^(-) ] 4. o m ,o8836 (rf^î —
— [o-,o3899(rA'i»>) — f/p(*>] H- o m , 16731^»)— «/„<••>);
on déduit de là :
(«/)=— o,o8836, (*/)=-h o,i3o 9 2, (c/) = — 0,00260, + 0,07895, (<•/) =r -h o,o38 9 C), (//)=-4o,i3i5, [gl) = + 10,9957, ( //) = 4- o,i3238,
Les méthodes indiquées plus haut donnent, en prenant le mètre pour unité de longueur,
^=0,08329 ou P= 12,006.
On en conclut que l'erreur moyenne à craindre dans la valeur du côté Falkenberg-Breithorn est o m ,iSS6 m (m désignant Terreur moyenne à craindre dans les directions observées, cette erreur étant exprimée en secondes), et, par conséquent, si nous adoptons la valeur de m annoncée plus haut, cette erreur moyenne à craindre est o m ,i209.
Au reste, l'inspection du système de triangles montre immédiatement qu'on pouvait complètement laisser de côté la station Hauselberg, sans rompre le réseau qui réunit les
quatre autres. Mais il ne serait pas permis pour cela de supprimer les opérations qui se rapportent à ce point, car elles contribuent certainement à augmenter la précision de l'ensemble. Pour montrer plus clairement quel accroissement de précision en résulte, nous terminerons en faisant de nouveau le calcul, après avoir exclu tous les résultats qui se rapportent au point Hauselberg. Des dix-huit directions mentionnées plus haut, huit cessent alors de servir, et les erreurs les plus plausibles sur celles qui restent , sont
La valeur du côté Falkeuberg-Breithorn devient alors 26766™ ,63, résultat peu diiïerent de celui qui a élé obtenu plus haut. Mais le calcul du poids donne
p = 0,1 3o82 ou P =. 7,644»
et Terreur moyenne à craindre est, en mètres,
On voit que par l'adjonction des opérations qui se rapportent à Hauselberg, le poids de la détermination du côté Falkenberg-Breithorn est augmenté dans le rapport de 7,644 à 12,006, c'est-à-dire dans le rapport de l'unité
