V-M = ,>, V'-M'=/,V''M'W',... et

ces équations prendront la forme suivante :

De là résulte qu'on pourra obtenir par Félimination une solution pleinement déterminée du problème, dès que. la nature de la fonction y' sera connue. Mais comme cette fonctioa ne peut être définie à priori , abordons la question à un autre point de vue et cherchons une fonction acceptée tacitement comme base, en vertu d'un principe simple et généralement admis. Or on a coutume de regarder comme un axiome l'hypothèse que si une quantité a été obtenue par plusieurs observations immédiates, faites avec le même soin dans des circonstances semblables, la moyenne arithmétique des valeurs observées sera la valeur la plus probable de cette quantité, sinon en toute rigueur, du moins avec une grande approximation, de telle sorte que le plus sûr soit toujours de s'y arrêter. Si donc l'on pose

et

on devra avoir en général

pour toute valeur entière et positive de u. Faisant ensuite

on aura généralement

d'où Ton tire facilement que ff -~ doit être en général une

constante h. On aura donc

log? (A) = y H-const. = |/ A 1 -Mogx,

d'où

Or on voit facilement que la constante h doit être négative, pour que 12 puisse devenir maximum : posons donc

et comme, d'après un élégant théorème de Laplace, on a

/°° -*»A» , 4 sfi ao n

notre fonction deviendra

La fonction que nous venons de trouver ne peut pas exprimer, en toute rigueur, la probabilité des erreurs, puisque les erreurs possibles étant toujours renfermées entre certaines limites, la probabilité d'erreurs plus grandes devrait être toujours nulle, tandis que notre fonction a toujours une valeur finie. Cependant ce défaut, que présenterait également toute autre fonction analytique, n'a aucune*importance dans les applications, parce que la valeur de notre fonction décroît si rapidement, pour peu que A A ait une valeur considérable , qu'on peut, en toute sûreté, la regarder alors comme équivalente à o. D'ailleurs, la nature de la question ne permettra jamais d'assigner les limites des erreurs avec une rigueur absolue.

Au reste, la constante h peut être regardée comme ser-

( lao )

vant de mesure à la précision des observations. Si en effet la probabilité de Terreur A dans un système d'observations est exprimée par

et dans un autre système d'observations plus ou moins exactes que les premières par

la probabilité que dans une observation du premier système l'erreur soit comprise entre les limites — à et -H à, sera exprimée par

et de même la probabilité que l'erreur d'une observation du second système soit comprise entre les limites — $' et -+-(?', sera exprimée par

- c dà '

or ces intégrales sont manifestement égales lorsqu'on a Si , par exemple, on a

une^errcur double dans le premier système sera commise aussi facilement qu'une erreur simple dans le second , de sorte que les dernières observations, pour nous servir d'une expression consacrée par l'usage , jouissent d'un degré de précision deux fois plus grand.

Voici maintenant quelques conséquences de celte loi. Il

est clair qu'il faut, pour que le produit

devienne maximum , que la somme

devienne minimum. Donc le système de valeurs des inconnues/?, <jr, r, s, etc., le plus probable correspond au cas où les carrés des différences entre les valeurs observées et les valeurs calculées des fonctions V, V, V, etc., donnent la somme la plus petite possible, pourvu que toutes les observations soient également présumées précises.

Ce principe, qui est de la plus grande utilité dans toutes les applications des mathématiques à la philosophie naturelle, doit être regardé comme un axiome, au même titre que le principe qui nous fait adopter la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une même quantité comme la valeur la plus probable de cette quantité.

Le principe s'étend sans peine au cas d'observations d'une précision inégale. Car si les précisions des observations par lesquelles ou a trouvé

sont représentées respectivement par h, h\ h", etc., c'està-dire si Ton suppose que des erreurs réciproquement proportionnelles à ces quantités puissent être commises avec la même facilité, il est clair que cela revient au même que si, pardesobservations d'une égale précision (représentée pan), les valeurs des fonctions /iV, /t'V, A"V", etc., avaient été trouvées égales à AMj.A'M', A "M", etc.} c'est pourquoi le système le plus probable de valeurs des quantités p, q , r, 5, etc., sera celui où la somme

ccsl-à-dirc oit la somme des canes des différences entre

les valeurs observées et calculées y multipliés respectivement . par les carrés des nombres qui expriment le degré de précision^ devient un minimum. Par là, il n'est pas même nécessaire que les fonctions V, V, V", etc., se rapportent à des quantités homogènes, niais elles pourront représenter des quantités hétérogènes (par exemple des secondes d'arcs et de temps); pourvu que Ton puisse estimer le rapport des erreurs qui, dans chacune de ces grandeurs , peuvent être commises avec la même facilité.

Le principe exposé dans l'article précédent se recommande aussi par cela qu'il réduit le calcul numérique des inconnues à un algorithme très-expéditif , quand les fonctions V, V, V", etc., sont linéaires. Supposons

V — M = v = — m -\- a p ~\- b q-hcr-\-ds-\-...,

V — M' = v' = — m' -h b' e r + tts + . . . , V" — M" ^v"—~ m" -h a"p -h b" q -+- c"r+A+.. . ,

Posons

c ç + c ' v' -+- c" v" -f- . . . = R, rfi>H-rfV -h iî'v N -h. . .= S,

alors les v équations de l'art. 3, qui déterminent les valeurs des inconnues , seront

si nous supposons les observations également bonnes, cas auquel nous pouvons ramener tous les autres , comme nous l'avons montré dans l'article précédent. On a ainsi autant d'équations linéaires que d'inconnues : on les résoudra par la méthode ordinaire.

Voyons mainteuant si cette élimination est toujours possible ou si elle peut donner une valeur indéterminée ou impossible. Il résulte de la théorie de l'élimination que le second ou le troisième cas aura lieu si , en laissant de côté une des équations

ou peut déduire des équations conservées une équation identique ou contradictoire à celle que l'on a omise , ou, ce qui revient au même, si Ton peut assigner une fonction linéaire

aP + + ■+-••• >

qui soit identiquement nulle ou qui ne contienne aucune des inconnues. Supposons donc que Ton ait

aP-h PQ -h 7R -h. . .= x,

on a l'équation identique

= pV q Q -f- rR H- sS -h

Si Ton suppose qu'en faisant

p = otx y 7 — (3.r, r= 7 x,.. ,

les fonctions \>, *>', y", etc., deviennent respectivement

— w-flx, — /iT-j-Vx, — m" Y'x, . . ,

on aura l'équation identique

(X' + V'-hX"'-*-. ..)** — ()»+V«' +lV+...)*=xï f et, par suite,

V + V J + V' , +... = o, x -h X//i -h \'m' -h X"m" -f-. . . = o y d'où résulte

et, par suite,

c'est-à-dire que les fonctions V, V, V", etc., devraient ne pas changer si p, q, r, s, etc., reçoivent des accroissements quelconques proportionnels aux nombres a , (3 , y, à, etc. Un pareil cas, dans lequel la détermination des inconnues ne serait pas possible, même si l'on donnait les vraies valeurs des fonctions , n'appartient pas à notre sujet, comme nous en avons averti plus haut.

Au reste, on peut réduire facilement tous les cas à celui où les fonctions V, V, V", etc., sont linéaires. Désignons par 7r, p, a y etc., des valeurs approchées des inconnues p, <7, r, 5, etc. (que nous obtiendrons en faisant usage de v équations prises parmi les p. équations