III. Dans le troisième cas, lorsque

on trouvera, d'après les résultats obtenus dans le Mémoire cité plus haut ,

On peut d'ailleurs démontrer qu'en restant dans les hypothèses admises au paragraphe précédent, le rapport ~

n'est jamais inférieur à 2»

Désignons par a:, x 1 , x" , etc., les erreurs commises dans des observations de même espèce, et supposons que ces erreurs soient indépendantes les unes des autres. Soit , comme plus haut, y(x) la probabilité relative de l'erreur x \ considérons une fonction rationnelle des variables

f ff

L'intégrale multiple

(ï) j < f (x)< 9 {x')y[x")...dxdx'dx".,.,

étendue à toutes les valeurs des variables .r, x* , x", etc., pour lesquelles la valeur de y tombe entre les limites données o, yj. représente la probabilité que la valeur de y soit

comprise entre o et yj. Or cette intégrale est évidemment une fonction de yj. Représentons sa différentielle par tfi (y?) drt , de sorte que l'intégrale considérée soit égale à

jf%(»)rf,,

et que, par conséquent, représente la probabilité

relative d une valeur quelconque de y. x pouvant être regardé comme une fonction des variables y, x\ x'\ etc., que nous désignerons par f( y, x', x", . . .), l'intégrale (i) prendra la forme

où y doit varier depuis y = o jusqu'à y =■ yj, et les autres variables reçoivent toutes les valeurs pour lesquelles f (yiX' ,x" ...) est réelle.

On aura donc

+(/)= f p[/(r,x^y^■01 rf /(/, ^ ,J '' -^ ) T(xOT(^)■^•^'rfx^■■ ;

l'intégration , dans laquelle y doit être regardé comme une constante, s étendant à toutes les valeurs des variables x', jr", etc., pour lesquelles /(y, x\ x",...) prend une valeur réelle.

L'intégration précédente exigerait, il est vrai, la connaissance de la fonction <p, qui est inconnue dans la plupart des cas» Lors même que cette fonction serait connue, le calcul surpasserait, le plus souvent, les forces de l'analyse. Dès lors il sera impossible d'obtenir la probabilité de chacune des valeurs de y, mais il en sera autrement si Ton désire seulement la valeur moyenne de y, qui sera donnée g. . 2

par l'intégrale

étendue à toules les valeurs possibles de y.

Si, par la nature de la fonction, ou à cause des limites imposées à jr, X 7 , a:", etc., y n est pas susceptible de recevoir toutes les valeurs, on devra supposer que $(y) s'annule pour toutes les valeurs que y ne peut atteindre, et Ton pourra alors étendre l'intégration de — oo à -f- oo .

Mais l'intégrale

prise entre des limites déterminées yj et y/, est égale à

prise depuis j- = yj jusqu'à y = r/ et étendue à toutes les valeurs des variables x', x", etc. , pour lesquelles/est réelle. Cette intégrale est é^ale, par conséquent, à l'intégrale

y y (x) <p(j^) <?(•*•")• • • dxdx' dx" . . . ,

dans laquelle y sera exprimé en fonction de x, x', x", etc., la sommation s'étendant à toutes les valeurs des variables qui laissent y compris entre r, et r/. D'après cela, F intégrale

/ fit {?)<*/