DE GÉOMÉTRIE PRATIQUE

(Extrait d'une Lettre de M. Gaiss à M. Schumacher; Astronomischc Nachrichien , tome 1, page 80. )

D'après votre désir, je vous envoie les règles relatives à l'emploi de la méthode des moindres carrés dans la solution du problème suivant :

Déterminer la position d'un point d'après les angles horizontaux observés de ce point entre d'autres points exactement connus.

Cette question, très-élémentaire, ne peut embarrasser ceux qui ont bien saisi l'esprit de la méthode des moindres carrés. Je développerai néanmoins les formules auxquelles

(*) Bode , Annuaire astronomique pour 1818, page t3f\.

elle conduit, en fa\eur des personnes qui auraient à traiter Ja question pratique sans avoir été à même d'étudier cette théorie.

Soient a et b Jes coordonnées de F un des points donnés; nous supposerons que Ton compte les x positifs du nord au sud et les y positifs de l'ouest à Test; soient x et y les coordonnées approchées du point inconnu et dx, dy les corrections encore inconnues qu'il faut leur attribuer. Déterminons deux quantités <p et r par les formules

tang«) = -, r — — = . • ,

n — x cos ? sm <j>

r f étant pris dans un tel quadrant, que la valeur de r soit positive.

Posons de plus

I /azimut du premier point est alors, pour un observateur placé au second (en prenant o pour azimut d'une parallèle à Taxe des .r),

les deux derniers termes étant exprimés en secondes.

Soient <p', a', j3' les quantités analogues à a , /3 et relatives au deuxième -des points donnés, a", fi' celles qui se rapportent au troisième, et ainsi de suite. Supposons que, pour les mesures angulaires prises au point dont la position est inconnue, on ait fait usage d'un théodolite sans répétition , dont on dirige successivement la lunette vers les points connus , sans changer la place de l'instrument lui-même. Si à, h\ h" sont les azimuts observés, on aurait, en supposant les observations rigoureusement exactes, et r/.r, dy exactement connus,

— h -f- y.dx +> pdy rrf- // -|- a! dx -f- p' dy

fdy....

Si donc on écrit que trois de ces différences ont la même valeur, on trouvera des valeurs approchées pour dx et dy ; si Ton n'a observé que trois points, il n'y a rien de plus à faire; mais si le nombre des points considérés est plus grand, les erreurs seront le mieux compensées, en prenant la moyenne de ces diverses expressions (1), égalant à zéro la différence entre chacune d'elles et cette moyenne, et appliquant à ces équations la méthode des moindres carrés.

Si toutes les mesures sont indépendantes les unes des autres , chacune d'elles fournit une équation entre dx et dy, et jl faut combiner ces équations par la méthode des moindres carrés, en ayant égard , si l'on veut, à l'inégale précision des observations.

Soient, par exemple, i l'angle compris entre le premier et' le deuxième point, i' l'angle compris entre le second et le troisième, et ainsi de suite, en comptant toujours de gauche à droite-, on aura les équations

? '- f - l >( a '- tf ) ( fc + (P'-p)rf ; = o, ? "- ? ' - i'H- (a"- *')<lx + ($"- ?)dy = O.

Si les diverses mesures ont le même poids , on déduira de ces équations deux équations normales, en les ajoutant, après avoir successivement multiplié chacune d'elles par le coefficient de dx ou par celui de dy.

Si , au contraire, les mesures des angles sont d'une exactitude inégale, et, par exemple, la première soit fondée sur n et la seconde sur fi f répétitions , il faut que, dans les deux cas, et avant leur addition, les équations soient encore multipliées par fx', etc. ; on trouve ensuite dx, dy, etc., par l'élimination entre les deux équations normales ainsi trouvées.

(Les préceptes qui précèdent sont seulement destinés aux personnes auxquelles la méthode des moindres carrés est encore inconnue et pour lesquelles il sera peut-être bon de rappeler que, dans les multiplications, les signes de a' — a,

p' — 13, etc., doivent être rigoureusement conservés. Enfin, je remarque encore que l'on a seulement en vue de compenser les erreurs commises sur les angles , les coordonnées des points donnés étant supposées exactes. )

Appliquons les indications qui précèdent aux observations que nous avons faites en commun sur le Holkensbastion , à Copenhague. Je dois prévenir que les résultats ne peuvent cire ici d'une exactitude rigoureuse. Les points observés étant très-rapproebés de la station , une inexactitude de quelques dixièmes de pied sur leur position peut exercer une influence beaucoup plus grande que les erreurs habituellement à craindre sur les angles mesurés. On ne s'étonnera donc pas que la meilleure compensation des angles laisse subsister des différences beaucoup plus grandes que celles que Ton peut admettre comme possibles dans les observations de même nature. Cette application doit être prise comme un exemple de la marche à suivre dans d'autres cas.

Angles mesurés du Holhensbastion.

Friedrichsberg — Pétri 7 3° 35' 22" , 8 ;

Pelri — Erlosersthurm 1 o4 . 57 . 33" , o ;

Erlbsersthurm — Friedrichsberg . 1 8 1 . 27 . 5" ,0 ;

Friedrichsberg — Fraueuthurm . . 80 . 37 . 10", 8;

Frauenthurm — Friedrichsthurm. 101 . 1 1 . 5o",8;

Friedrichsthurm — Friedrichsberg. 178.11. i",5.

Coordonnées des divers points en pieds de Paris, l'origine étant a l'Observatoire de Copenhague,

Pétri 487 ,7 -h 1007 ,7 ;

Frauenthurm 710,04- 684,2;

Friedrichsberg .... 243o ,6 -h 8335 ,0 ;

Erlosersthurm 2 94° > 0 — 3536 , o ;

Friedrichsthurm . . . 3o5o, , 3 — 223 1,2.

Les coordonnées approchées du Bastion sont

cl nous trouvons ainsi les azimuts :

Pétri * i66°3o'42",56+ 19,92^4- 83, o^dy,

Fruenthurm 1 73 . 33 . 5o" , 54 -h 10 , 80 dx 4- 95 , 78 dy ;

Friedrichsberg 92 . 56 . 29" ,46 4- 26 , 07 dx 4- 1 , 34 dy ;

Erlosersthurm 271 .29. 25", 38 — 5 1,791b; — i y 35dy;

Friedrichsthurm . . . 274. 45. 4 1 ">4^ — 76,56<te — 6,38^j.

L'angle sous lequel on voit la distance de Pétri à Friedrichsberg est, par suite,

7 3° 34' 3" , 1 o — 6, 1 5 dx 4- 8 1 . 7 o dy ; en l'égalant à l'angle observé, on a

~~ 79" >7° ~~ 6 » »5 dx 4- 81 ,70 dy = o.

On obtient, de la môme manière, les équations suivantes :

69", 82 — 71,71 rte — 84,39^=0, 9", 08 -h 77,86<te-h 2,69^7 = 0, o",a8 — 15,27 dx 4- g4»44'(r ==0 9 o",o4 — 87,36<te — 102,1 6 tfj =5 o, — 3",4 2 4- 102, 63 «te 7,72^ = 0.

En supposant les observations également précises, on déduit de là les équations normales

29640 rfr + 1 4o33 dy = 4 1 68", i4o33<te 4- 33a 19^ = 12383",

et, par suite,

dx — — o,o5, r//=o,4o; les coordonnées du Bastion sont donc

Les différences entre les valeurs observées des angles et celles que Ton calculerait d'après ces résultats sont trop grandes pour qu'on puisse les attribuer aux erreurs d'observation-, elles tiennent, comme nous l'avons dit, à un défaut de précision dans la déterminalion des points connus.

Les coordonnées x et y, adoptées comme premières approximations, ont été déduites directement du quatrième et du cinquième angle. Quoique la méthode directe doive être considérée comme un sujet presque épuisé, j'indiquerai néanmoins , pour compléter, la méthode que j'ai l'habitude d'employer en pareil cas.

Soient a et b les coordonnées du premier point connu; celles du second seront de la forme

o + RcosE, b -+- R sin E ,

et celles du troisième,

«4-R'cosE', A-f-R'sinE'.

Soient

a -+- p cos « , b -+- p sin i

les coordonnées cherchées du point d'où l'on observe \ soient M l'angle observé (toujours de la gauche à la droite) entre le premier et le deuxième point, et M' l'angle observé entre le premier et le troisième (en supposant qu'on en ait, s'il y a lieu, retranché 180 degrés); soient

sinM-"' sinM'""' E — M = N , E' — M' = N':

on a les deux équations

p = n sin (« — N) , p =ri sin(e — N') :

qui, écrites de la manière suivante,

sin (« — N)

— gin (« N')'

6e résoudront par la méthode exposée ( Theovia Motus Corporum cœlestium, page 82).

L'une des solutions exposées en cet endroit conduit à la

règle suivante. Soit n' plus grand, ou au moins pas plus petit que n , ce qui est évidemment permis, puisqu'on peut choisir le second point arbitrairement; posons

tang^N ' — N ) tang ( 45« — Ç )

=: tang :

on aura

s étant connu, Tune des équations, ou même encore toutes deux, fourniront la valeur de p.

Dans notre exemple , si nous considérons Frauenthurm comme le premier point, Friedriehsberg comme le deuxième et Friedrichsthurm comme le troisième, nous aurons :

logR =

logR' =

ioi°n'5o",8o,

log n' —

n' étant plus grand que w, nous changerons ici l'ordre et nous poserons

N= 207°3 9 / 54 , \97, N' = 33 7 °56'42",72, log n = 3,5817019, log n' = 3,9002650;

on en déduit

ç= «9039' 3",8 7 , \ — 80. 45. 3 .",69, e = 353 . 33 . 5o" , 53 , log p =3,3303990;

et les coordonnées du Holkensbastion ,