J — OC

peut se mettre sous la forme

yy{x) <p(.r') <p(x"). . . dxdx' dx" . . . ,

l'intégration s'étendant à toutes les valeurs réelles de x, X*, x", c'est-à-dire depuis x — — co à .r = -h oo , x' = — oo à i' = + « , etc.

Si la fonction y se réduit à une somme de termes de la forme

A *"■/..., la valeur de l'intégrale

r+(r)<ri

étendue à toutes les valeurs de y, c'est-à-dire la valeur moyenne de^, sera égale à une somme de termes de la forme

x*v(x)dx. f x'to[r')dx'. f * x"'<y{x")dx"...,

c'est-à-dire que la valeur moyenne de y est égale à une somme de termes déduits de ceux mêmes qui composent y, en y remplaçant ,r a , or'' 3 , x f,y , etc., par lturs valeurs moyennes. La démonstration, de ce théorème important pourrait facilement se déduire d'autres considérations.

Appliquons le théorème précédent au cas où Ton a

x 7 -f- x fi -f- x" 2 -H . . .

<7 désignant le nombre des termes du numérateur.

On trouve tout de sui te que la valeur moyenne de y est égale à m* (la lettre m ayant toujours la signification de l'art. 5). La véritable valeur dey peut être inférieure ou supérieure à sa moyenne, de même que la vraie valeur de x* peut, dans chaque cas, être inférieure ou supérieure à m*-, mais la probabilité pour que la valeur fortuite de y ne diffère pas sensiblement de m s , s'approchera sans cesse de la certitude à mesure que a deviendra plus grand. Pour le montrer plus clairement, comme il est impossible de chercher exactement cette probabilité, nous chercherons l'erreur moyenne à

craindre en faisant jr = m*. D'après ce qui a été dit (art. 6), cette erreur sera la racine carrée de la moyenne de la fonction

Pour la trouver, il suffit d'observer que la valeur moyenne

x* , \ n K d'un terme tel que — est égale à — j (n ayant la même signification que dans l'art. H ), et que la valeur moyenne d'un