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ternie tel que — — — est égale a — r ; par conséquent, la valeur moyenne de cette fonction sera

De là nous concluons que si le nombre des erreurs irrégulières esfsuffisamment grand, la valeur de m sera représentée, avec une grande certitude, par la formule

et V erreur moyenne à craindre dans la détermination du carré de m, sera égale à

Comme cette dernière formule contient la quantité // , si I on veut seulement se faire une idée du degré de précision de cette détermination, il suffira d adopter pour la fonction <p une hypothèse particulière.

Si nous prenons , par exemple , la troisième hypothèse des

art. 9 et 11, cette erreur sera égale à m 2 l/^- Si on le

préfère, on pourra obtenir une valeur approchée de n k au moyen des erreurs elles-mêmes, à l'aide de la formule

On peut affirmer généralement qu'une précision deux fois plus grande dans cette détermination exigera un nombre d'erreurs quadruple, c'est-à-dire que le poids de la détermination est proportionnel au nombre <r.

On verrait de la même manière que si les erreurs des observations renferment une partie constante, on déduira de leur moyenne arithmétique une valeur de la partie constante, et cette valeur sera d'autant plus approchée que le nombre des erreurs sera plus grand. Dans cette détermination,

Terreur moyenne à craindre sera représentée par ^ - »

k désignant la partie constante, cl m Terreur moyenne des observations non corrigées de leur erreur constante. Elle

tn

sera représentée simplement par si m représente Terreur moyenne des observations corrigées de la partie constante (voyez art. 8).

lt>.

Dans les art. 12 à 15 nous avons supposé que les erreurs .r, x\ x", etc., appartenaient au même genre d'observations, de sorte que la probabilité de chacune de ces erreurs était représentée par la même fonction. Mais il est évident que les principes généraux exposés dans les articles 12 à 14, peuvent facilement s'appliquer au cas plus général où les probabilités des erreurs x, x\ x", etc., sont représentées par des fonctions diflérentes

c'est-à-dire lorsque ces erreurs appartiennent à des observations qui n'ont pas le même degré de précision. Supposons quer désigne Terreur d'une observation dont Terreur moyenne à craindre soit m\ x\ a;", etc., celles d'autres observations dont les erreurs moyennes à craindre soient respectivement //?', m", etc. : alors la valeur moyenne de

la somme sera

Or, si l'on sait, par ailleurs, que les quantités m, m', m", etc., sont respectivement proportionnelles aux nombres, f, etc., la valeur moyenne de l'expression

OC^ "\ JC * ~v~ JC " |— • • •

sera égale à m*. Mais si nous adoptons pour m* la valeur que prendra cette expression, en y substituant les erreurs x y x \ x", etc., telles que le hasard les offrira, l'erreur moyenne qui affecte cette détermination sera , d'après l'article précédent,

yjn* -f- „'« -|- ... „,< — — w "< . . ,

où n ti", etc., ont la même signification, par rapport à la seconde et à la troisième observation , que n par rapport à la première ; et si l'on peut supposer les nombres n , n\ n", etc. ? proportionnels à m, m', m /; , etc. .celte erreur moyenne à craindre sera égale à

mais cette manière de déterminer une valeur approchée de m n'est pas la plus avantageuse.

Considérons l'expression plus générale

dont la valeur moyenne sera aussi m% quels que soient le;, coefficients a', a", etc. L'erreur moyenne à craindre lorsqu'on substitue la valeur m* à une valeur de j-, déterminée d'après les erreurs fortuites x, x", etc., sera, d'après

les principes précédents, donnée par la formule

V^~' w «) H- a' 1 {n'* — /;/«) + a"' (/?"' — w"«7+~~ I H- aV* -f- a" a" 2 -4- . .

Pour que celte erreur soit la plus petite possible, il faudra poser

a = ri"'

Ces valeurs ne pourront pas s'évaluer tant qu'on ne eon-

naîtra pas les rapports — , — ■ ? etc. Dans l'ignorance où l'on

est de leur valeur exacte (*)-, le plus sûr sera de les supposer égaux entre eux [ voyez art. 11), et l'on aura alors

c'est-à-dire que les coefficients a',»' 7 , etc., doivent être supposés égaux aux poids relatifs des diverses observations, en prenant pour unité le poids de celle à laquelle correspond l'erreur x. Ceci posé, désignons, comme ci-dessus, par a le nombre des erreurs proposées; la valeur moyenne de l'expression

x 7 H- a'jc' 7 -h a"*"' -4- . . .

rs

sera égale à m% et lorsque nous prendrons, pour la vraie valeur de m 5 , la valeur de cette expression déterminée au moyen des erreurs fortuites x, jr', x'\ etc., l'erreur moyenne à craindre sera

( * ) On ne conçoit la possibilité de déterminer exactement « , //, etc., que dans le seul eus où , par la nature de lu fonction ç>, les erreurs x , j\ jt", etc.,- proportionnelles à «, /a", etc., seraient également probables, c est-à-dire le cas où

( A r ci«c </c- M. Gal'ss.)

et, enfin, s'il est permis de supposer les quantités n 9 n\ n", etc., proportionnelles à m, m', m'\ etc., cette expression se réduira à

résultat identique à celui que nous avons trouvé dans le cas où les observations sont toutes de même espèce.

Lorsqu'une observation dont la précision n'est pas absolue, fait connaître une certaine quantité liée analytiquement à une grandeur inconnue, le résultat de cette observation peut fournir pour l'inconnue une valeur erronée, mais dans la détermination de laquelle il n'y a rien d'arbitraire qui puisse donner lieu à un choix plus ou moins vraisemblable.

Mais si plusieurs fonctions de la même inconnue sont données par des observations imparfaites, chaque observalion fournira une valeur de l'inconnue, et l'on pourra également obtenir des valeurs, par la combinaison de plusieurs observations. Il y a évidemment une infinité de manières d'y parvenir; le résultat sera soumis, dans tous les cas, à une erreur possible. Selon la combinaison adoptée, Terreur moyenne à craindre pourra être plus ou moins grande.

La même chose aura lieu si plusieurs quantités observées dépendent à la fois de plusieurs inconnues. Selon que le nombre des observations sera égal au nombre des inconnues, ou plus petit ou plus grand que ce nombre, le problème sera déterminé, ou indéterminé, ou plus que déterminé (du moins en général), et, dans ce troisième cas, les observations pourront être combinées d'une infinité de manières pour fournir les valeurs des inconnues. Parmi ces combinaisons, il faudra choisir les plus avantageuses, c'està-dire celles qui fournissent des valeurs pour lesquelles l'erreur moyenne à craindre est la moindre possible. Ce

problème est certainement le plus important que présente l'application des mathématiques à la philosophie naturelle.

Nous avons montré, dans la. Théorie du Mouvement des Corps célestes, comment on trouve les valeurs les plus probables des inconnues lorsque Ton connaît la loi de probabilité des erreurs des observations, et comme, dans presque tous les cas, cette loi par sa nature reste hypothétique, nous avons appliqué cette théorie à l'hypothèse très-plausible, que la probabilité de Terreur x soit proportionnelle à e~ h%x% \ de là cette méthode que j'ai suivie, surtout dans les calculs astronomiques, et que maintenant la plupart des calculateurs emploient sous le nom de Méthode des moindres carrés.

Dans la suite, Laplace, considérant la question sous un autre point de vue, montra que ce principe est préférable à tous les autres, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs, pourvu que le nombre des observations soit trèsgrand. Mais lorsque ce nombre est restreint, la question est encore intacte; de sorte que, si Ton rejette notre loi hypothétique , la méthode des moindres carrés serait préférable aux autres, par la seule raison qu'elle conduit à des calculs plus simples.

Nous espérons donc être agréable aux géomètres en démontrant, dans ce Mémoire , que la méthode des moindres carrés fournit les combinaisons les plus avantageuses des observations, non-seulement approximativement, mais encore d'une manière absolue, et cela quelle que soit la loi de probabilité des erreurs et quel que soit le nombre des observations, pourvu que I on adopte pour l'erreur moyenne, non pas la définition de Laplace, mais celle que nous avons donnée dans les art. 5 et B.

Il est nécessaire d'avertir ici que, dans les recherches suivantes, il ne sera question que des erreurs fortuites diminuées de leur partie constante. C'est à l'observateur qu'il appartient d'éloigner soigneusement les causes d'erreurs constantes.

Nous réservons pour une autre occasion l'examen du cas où les observations sont affectées d'une erreur constante inconnue, et nous traiterons cette question dans un autre Mémoire.