PROBLÈME

Soit U une Jonction donnée des inconnues Y, V, V", etc. ; on demande l'erreur moyenne M à craindre dans la détermination de la valeur de U , lorsque, au lieu des véritables valeurs de V, V, Y", etc., on prend les valeurs déduites d'obseivations indépendantes les unes des autres y m, m', m", etc., étant les erreurs moyennes gui correspondent à ces diverses obseivations .

Solution. — Désignons par e, e', e", etc., les erreurs des valeurs observées Y, Y', Y", etc. 5 l'erreur qui en résultera, pour la valeur de la fonction U , pourra s'exprimer par la fonction linéaire

. -, V / ' 1 j - • ' f/Ll

ou A, A , À , etc. , représentent les dérivées —, — etc. ,

lorsqu'on y remplace V, Y', Y", etc., par leurs vraies valeurs.

Cette valeur de E est évidente si l'on suppose les observations assez exactes pour que les carrés et les produits des • ri eurs soient négligeables. 11 résulte de là que la valeur moyenne de E est nulle, puisque Ton suppose que les erreurs des observations n'ont plus de partie constante. Or Terreur moyenne M, à craindre dans la valeur de U, sera la racine carrée de la valeur moyenne de E 2 , c'est-à-dire que M* sera la valeur moyenne de la somme

mais la valeur moyenne de A s e* est A* m 8 , celle de A'V est A"m /S , etc., enfin les valeurs moyennes des produits ?.AA'eV sont toutes nulks; donc on aura

11 est bon d'ajouter plusieurs remarquas à celle solution.

I. Puisqu'on néglige les puissances des erreurs qui sont supérieures à la première, nous pourrons , dans notre formule, prendre pour A, X', etc., les valeurs des coefficients

différentiels etc., déduites des valeurs observées V, V,

V", etc. Toutes les fois que U est une fonction linéaire, cette substitution est rigoureusement exacte.

IL Si, au lieu des erreurs moyennes, on préfère introduire les poids des observations, supposons que p^p', p'\ etc., soient les poids respectifs, l'unité étant arbitraire , et P le poids de la valeur de U; on aura .