III. Soit T une autre fonction de V, V, V", etc. ; posons

cVT dj , dj __ „ rfV"*' r/V'" - *' HT' ~ 7 '

L'erreur commise surT, en adoptant pour V, V, Y 7 ', etc., les résultats fournis par l'observation , sera

x«?h-*V -+-xV\..=E',

et l'erreur moyenne à craindre dans cette détermination sera

11 est évident que les erreurs E et E' ne seront pas indépendantes l'une de l'autre, et que la valeur moyenne du produit EE' ne sera pas nulle comme la valeur moyenne de et*': elle sera égale à

xlm 5 ~h -/l'm" + x" À" ai" 2 -h

IV. Le problème comprend le cas où les valeurs des quantités V, V, \ 7/ , etc., ne sont pas données immédiatement par l'observation , mais sont déduites de combinaisons quelconques d'observations directes. Pour que cette extension soit légitime , il faut que les déterminations de ces quantités soient indépendantes , c'est-à-dire (ui'ellcs soient fournies

par des observations différentes. Si cette condition d'indépendance n'était pas remplie, la formule qui donne la valeur de M ne serait plus exacte. Si , par exemple, une même observation était employée, à la fois, dans la détermination de V et dans celle de V, les erreurs e et e ne seraient plus indépendantes, et la valeur moyenne du produit ee' ne serait plus nulle. Si l'on connaît, dans ce cas , la relation qui lie V et V aux résultats des observations simples dont ils dérivent, on pourra calculer la valeur moyenne du produit ee', comme il est indiqué dans la remarque III, et dès lors corriger la formule qui donnera M .

Soient V, V, V', etc., des fonctions des inconnues x, y, etc.; soient u le nombre de ces fonctions, p le nombre des inconnues; supposons que des observations aient donné, immédiatement ou médiatement, L, L/, L", etc., pour valeurs des fonctions V, V, V', etc., de manière cependant que ces déterminations soient absolument indépendantes les unes des autres. Si p est plus grand que u, la recherche des inconnues est un problème indéterminé. Si p = ci, chacune des inconnues jr, y, z, etc., peut être regardée comme calculée en fonction de V, V, V, etc. ; de sorte que les valeurs des premières peuvent être déduites des valeurs observées de ces dernières, et l'article précédent nous permettra de calculer la précision relative de ces diverses déterminations. Si p est plus petit que gt, chaque inconnue x, y, z, etc., pourra être exprimée d une infinité de manières, en fonction de V, V, V, etc., et, en général , ces valeurs seront différentes; elles devraient coïncider si . les observations étaient, contrairement à nos hypothèses, d'une exactitude rigoureuse. Il est clair, d'ailleurs, que les diverses combinaisons fournissent des résultats dont la précision sera, en général , différente.

D'ailleurs si, dans le deuxième et le troisième cas, les quantités \ , V, V", etc., sont telles que ct — p -+- i d'entre

elles, ou davantage, puissent être regardées comme des fonctions des autres, le problème est plus que déterminé relativement à ces dernières fonctions et indéterminé relativement aux inconnues x, jr, r, etc. ; et Ton ne pourrait même pas déterminer ces dernières inconnues , quand bien même les . fonctions V, V, V", etc. , seraient exactement connues : mais nous excluons ce cas de nos recherches.

Si V, V, V", etc., ne sont pas des fonctions linéaires des inconnues, on pourra toujours leur attribuer cette forme, en remplaçant les inconnues primitives par leur différence avec leurs valeurs approchées, que Ton suppose connues; les-erreurs moyennes à craindre dan3 les déterminations V = L, V' = L', V'=L",...

étant désignées respectivement par m, m', m", etc., et les poids de ces déterminations, par p,p', />", etc , de telle sorte que

pm* = p'm'* = p"m' h —

Nous supposerons connus les rapports des erreurs moyennes ainsi que les poids, dont l'un sera pris arbitrairement. Si nous posons enfln

(▼-L)VÊ = «S (V'-L')v£"' =

les choses se passeront ensuite comme si des observations immédiates, également précises et dont l'erreur moyenne

aurait pour valeur msjp, avaient donné