F/+ G^ + HA
Ksera évidemment la valeur la plus plausible de la fonction v*^ telle qu'elle résulte des équations primitives, sans avoir égard à la valeur o fournie par la nouvelle observalion , et - sera le poids de cette détermination. Or nous avons
r = ?+>% vi* = >5 + ^f*, ?* = ? + /'»'%...,
et, par suite,
F?*+G>,*H-Hi;* + ... + K = P*(n-F/H-G^-t-H^ + . . .);
d'où l'on déduit
^^Fr+Gyî*H-H^*4--..H-K I + w
On a , en outre ,
a: = A + (aa) ^-H (ap) v,* + (ay) Ç* H- . .
= A-l-(aa)r+(=cp)/J*-i-.-.— Fr*,
= A + laa)ç*+(aI'i)«*-H--. ^i'Fr+ G»i*+ Hi;* +•• -Iv).
Nous déduirons de là ,
qui sera la valeur la plus plausible de x , «lédiiitc <!(• ionics les observations.
( 55 ) On aura aussi
[•av conséquent ,
(oLOi) — ^'
sera le poids de cette détermination.
On trouvera de la même manière, pour valeur la plus [ilausible dey, déduite de ton/es les observations,
le poids de celte détermination sera
et ainsi de suite.
Le problème est donc résolu.
Ajoutons quelques remarques.
I. En substituant les nouvelles valeurs A*, B*, C*, etc la fonction i^* obtiendra la valeur la plus plausible
K ^^- (F/+ Gg -f- nh ' ^^
et, puisque Ton a, identiquement,
1 + w I -f- OJ I + CJ " I + w
le poids de ( etle détermination sera (art. 29)
F/ -h G- 4- Il /<-+-.. . "^ « ■^'•
Ces résultats pourraient se déduire immédintemeni des règles exposées à la lin de Tart. 21. L'ensemble des équations primitives a\ait, en edét , fourni la détei niination
v^*z=K, dont le poids était -, une observation noM\eIK'
( ^>6 ) donne une autre détermination ^^* = o, indépendante de la première, ayant pour poids l'unité 5 leur combinaison donnera la détermination
qui aura pour poids
w II. On conclut de ce qui précède que, pour
on devra avoir
Ç*=:o, n*=o, Ç* = o, .., et, par suite,
Puisque d'ailleurs
£1 = ^ (or - A) + >î ( j — B) -^ Ç(z — C) -h . . . + M,
a* = a-h v*\ on devra avoir, pour ces mêmes valeurs,
11 = -^^, (F/-+-Gg4-H//+...) + M = M+ 7^^, (iH-w)- ^ (14- w)'
et
III. En comparant ces résultats avec ceux de l'article 30, nous voyons ici que la fonction II a la plus petite valeur qu'elle puisse obtenir lorsqu on s'impose la condition
JNous donnerons seulement ici la solution du problème suivant, qui a beaucoup d'analogie avec le précédent ; mais nous nous abstiendrons d'indiquer la démonstration , à laquelle le lecteur suppléera facilement en s'aidant de ce qui précède.
Tromper les changements des valeurs les plus plausibles des inconnues et les poids des déterminations nouvelles, lorsque Von change le poids de l'une des observations primitives.
Supposons qu'après avoir achevé le calcul on vienne à remarquer qu'on a attribué à une observation, à la première par exemple qui a donné V z= L , un poids trop fort ou trop faible, et qu'il serait plus exact de lui attribuer le poids p*, au lieu du poids p : il ne sera pas nécessaire de recommencer le calcul , mais il sera plus commode de former les corrections à l'aide des formules suivantes.
Les valeurs les plus plausibles des inconnues deviendront
{p*-p)ul .
p -i- [p* — p) {aa -h b fi -h cy -^ . . .)
p-\- [p* —/>) («a + /;p+ cy +...)'
z = C- iP*-p)l'^
les poids de ces déterminations s'obtiendront en divisant l'unité, respectivement, par
(aa) {P'-P)-' ,
P-^ {p* —p){aoi-\- b^ -hc't +...)
p + { p* ~ p) {a y. -i- ap -[- ry -h . . .
P -^ {P* — P) («a -+- bp-tcy -{-...) Celle solution con\iriii .m (,is (.ù, après avoir a» hcvé It
(58) calcul , il faudrait lejelor tout à fait l'une des obseivalions, puisque cela revient à faire /?* = o j de même, p* = co conviendra au cas où l'équation \ =: L , qui dans le calcul avait été regardée comme approchée, serait rigoureusement exacte.
Si, après le calcul terminé, plusieurs équations nouvelles venaient s'adjoindre aux proposées, ou si les poids attribués à plusieurs d'entre elles étaient erronés, le calcul des corrections deviendrait trop compliqué, et il serait préférable de tout recommencer.
Nous avons donné, dans les art. 15 et 16, une méthode pour déterminer, approximativement, la précision d'un système d'observations (*); mais cette méthode suppose connues exactement les erreurs réelles que F on a effectivement rencontrées dans une suite nombreuse d'observations; or cette condition n'est remplie que bien rarement, pour ne pas dire jamais.
Si les quantités dont l'observation fournit les valeurs approchées dépendent, suivant une loi donnée, d'une ou de plusieurs inconnues, on pourra trouver, par la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus plausibles de ces inconnues 5 si, dès lors, on calcule les valeurs correspondantes des grandeurs observées, ces dernières pourront être regardées comme différant peu des véritables : de sorte que leurs difiérences avec les valeurs observées, représenteront les erreurs commises avec une certilvide d'autant plus grande , que les observations seront plus nombreuses. Telle est la marche suivie dans la pratique par les calcu-
(*) Les recherches sur le même sujet insérées par nous {Zciischrifi Jur Astronomie iiiid vcrwaiidle Wissciischa/tcn, vol. I, page i85) sont ibndées sur riiypothèse relative à la probabilité des erreurs h. laquelle nous avions clé conduit dans la Théorie du Moitvermnt des Corps célestes.
{Note de M. Galss.)
On trouvera ce Mémoire à la lin du \olunu'. J. H.
( ^9 ) laleurs, qui out essayé, dans des cas compliqués, d'évaluer à posteriori la précision des observations. Quoique suffisante dans bien des cas, cette méthode est, théoriquement, inexacte et pourrait quelquefois conduire à de graves erreurs ; c'est pourquoi il est très-important de traiter la question avec plus de soin.
Conservons les notations de Tart. 19. La méthode dont il s'agit consiste à regarder A,B,C, etc., comme les véritables valeurs des inconnues o', j, z^ etc., et X, X', X", etc., comme celles des fonctions v^ p-', »^", etc. Si toutes les observations ont une égale précision et que leur poids commun
soit pris pour unité, ces mêmes quantités, changées de signe, représentent, dans celte supposition, les erreurs des observations, et, par conséquent, d'après l'art. 15,
sera l'erreur moyenne des observations. Si les observations n'ont pas la même précision , — X , — X', — X", etc. , représenteront les erreurs des observations, respectivement multipliées par les racines carrées des poids , et les règles de l'art. IG conduiront à la même formule,
qui exprime déjà l'erreur moyenne de ces observations lorsque leur poids est égal à l'unité.
Mais le calcul exact exigerait évidemment que l'on vcmplaçàt X, X', X", etc. , par les valeurs de p', k>\ v'\ cic. , déduites des véritables valeurs des inconinuîs oc^y^ z, etc., et la quanti lé iM par la valeur coirespondanle di> II. Quoiqiu- l'du ne [)uisse pas assigner celle dernière vah-ur, MOUS sonuiu's (crlaiu pourlaut qu'elle est plus grande ([U(r M qui est sou luiniuium : elle u'alleindrait (dte limite cjiu" dans le <as, infiuiincni peu [jiobablc. i»ù les va-
( 6o ) leurs véritables des inconnues se confondraient avec les plus plausibles. Nous pouvons donc affirmer, en général, que l'erreurmoyenne calculée par la pratique ordinaire est plus petite que Terreur moyenne exacte, et que 1 on attribue, par conséquent, aux observations une trop grande piécision. Voyons ce que donne une théorie rigoureuse.
Avant tout, il faut tlierclier comment la quantité ]M dépend des véritables erreurs des observations. Désignons ces erreurs, comme dans Tart. 28, pare, e', e", etc., et posons, pour plus de simplicité,
et
m \Jp = m' \lp' = m" sjp" = . . . = ^.
Soient
les vraies valeurs des inconnues JC, y, z, etc., pour lesquelles ^ , yj , ^ , etc. , soient , respectivement , — ^° , — yj" , — ^°, etc. Les valeurs correspondantes de i^, t^, t^', etc., seront évidemment
de sorte qu'on aura
i,o = as-h a'z' + a"i" ^. . . ,
r;» = ée+ Z»'£' + //'£"+...,
V =ZCZ -\- C Z -\- c" e" H- . . . ,
j:" =r a £ + a' z' + a" £ + • 7»=: p£f-p'£' + TVe" +. z'' = 7£ +y'e'4-y"£" 4-.
enfin
sera la valeur de la fonction fl, correspondant aux vraies valeurs des variables jr, y^ z, etc.
(6i ) Puisque l'on a identiquement
il = M + (.r - A) Ç + (7 - B) >, -t- ( 2 - C) ? + . . . ,
ou aura aussi
De là , il résulte évidemment que M est une fonction homogène du deuxième degré des erreurs e,e', e", etc.-, cette fonction pour diverses valeurs des erreurs pourra devenir plus ou moins grande. Dans l'ignorance où nous sommes de ces valeurs, il est bon d'examiner altentivenient la fonction M, et de calculer d'abord sa valeur moyenne d'après les principes du calcul des probabilités. Nous obtiendrons cette valeur moyenne en remplaçant les carrés ë^, e'^, etc., par T7i^, m'^, etc., et en omettant les termesen ee', ee'\ etc., dont la valeur moyenne est zéro 5 ou, ce qui revient au même, en remplaçant chaque carré e^, e'^, e "*,... , par p.*, et en négligeant £;', es", .... D'après cela, letermeHo fournira côp.^; le terme — x" ^" donnera
— («a+rt'a'4-rt"a"H-. . .) p- — — p^;
chacune des autres parties donnera également — p.^ , de sorte (jue la valeur moyenne totale sera
CT désignant le nombre des observations, et p le nombre des inconnues. La vraie valeur de M pourra, suivant les cas (pie le hasard présentera, être plus grande ou ])liis petite (|ue celte valeur moyenne, mais la diirérence sera d'autant moindre que le nombre des observations sera plus grand; de sorte (pu;
pourra être regardécomnie une valeur approchée de [j. - par «onséqucnt la valeur de ^/ , fournie parla méthode erronée dont nous avons parlé dans l'article précédent, devra être augmentée dans le rapport de y/cy — p à V^cr.
Afin de faire voir plus clairement jusqu'à quel point il est permis de regarder la valeur de M, fourme par les observations, comme égale à la valeur exacte, il faut clierclier quelle est l'erreur moyenne à craindre lorsque l'on fait
CT p
Celte erreur moyenne est la racine carrée de la valeur moyenne de la quantité
f£l' — x'I' — yo-n' — zot"— .. . — (ct — p)|xA» \ ^ — P /
que nous écrirons ainsi :
CT p
— [a" — x'^o — jW — z'K' — ... — (ct — p)pi'] — fx';
CI p
et comme la valeur moyenne du second terme est évidemment nulle, la question se réduit à clierclier la valeur moyenne de la fonction
Désignons cette valeur moyenne par N , l'erreur moyenne' clieichée sera
{vs-pY
Si l'on développe la fonction ¥, on voit qu'elle est une fonction homogène des erreurs e, c', e", etc., ou, ce qui revient au même, des quantités s, e', e", etc.; on trouvera donc la valeur moyenne :
1°. En remplaçant les quatrièmes puissances e*, e'*, f;'"", etc., par leurs valeurs moyennes 5
2". En remplacam les produits e^e", e'e"-, etc., par leurs valeurs inoyennes, c'esl-à-dlre par nr ni'^^ m^ni"', etc.;
3°. En négligeant les produits tels que e'e', e^e'e", etc.
Nous supposerons (art. 16) les valeurs moyennes de e*, e'*, e"^, etc., proportionnelles à m% //i'^ m"*, etc, de sorte
que les rapports des unes aux autres soient —5 v^ désignant
la valeur moyenne des quatrièmes piiissances des erretirs pour les observations dont le poids serait l'unité.
Les règles précédentes pourraient se traduire de cette autre manière :
Remplacer chaque quatrième puissance £*, s'*, e'"', etc., par v*5 cliaque produit e's'*, s^ô"-, etc., par a*, et négliger tous les termes, tels que e's' ou e'e's", zi'i"t"' .
Ces principes étant compris, on verra facilement que :
