I. La valeur movenne de H"- est
CTv' + (î3^ ^) P"-'*
IL La valeur moyenne du produit t^x^\° est
a a.'/' 4- ( a' y.' + «"se" + . . . ) p' = « a ( v' — p.' ) + p.' ,
car
AT X + n'y.' H- a" a" + . . . = i .
De même, la valeur moyenne de z'~x^ l*^ est la valeur moyenne de e^'^x"^" est
n"y." (v* — fy.') 4- pi«;
et ainsi de suite.
Donc la valeur moyenne du produit
(£'+£"+ £"' + ...) X'Ç» OU iVx^c,"
sera
v' — p.' 4- op'.
Les produits fl'^)-"'/;" ou II" 2" «^^ etc., auront la inrnie
valeur moyenne j donc le produit
n» (x» l" + j» r." + z» !:" -h . . .) aura pour valeur moyenne
III. Afin d'abréger les développements qui vont suivre, nous adopterons lanotation suivante. Nous attribuerons à la caractérislique 2 un sens plus étendu que nous ne l'avons fait jusqu'ici, en lui faisant désigner la somme des termes semblables, mais non identiques, qui proviennent de toutes les permutations des obsexvations. Nous aurons, d'après cette notation ,
x' =2 as ,
Calculant par parlies la valeur moyenne du terme x^^^^^, nous aurons d'abord, pour valeur moyenne du produit
De même, la valeur moyenne du produit a'- 1'^ ^"% est
«'■-•a'-^(v' — fx'') + a'>'2'''5
et ainsi de suite.
Par conséquent , la valeur moyenne du produit
sera
Or la valeur moyenne de ay.'es'^"^ est
zaa'rta'p.*.
(65 ) La valeur moyenne de a.y!' t^' '^^'^ est 2 cty.' aa f** ;
et ainsi de suite. D'où l'on conclut facilement que la valeur moyenne du produit
est
Ceci posé, nous aurons pour valeur moyenne du produit x''^ 'C%
IV. On trouvera d'une manière analogue, pour valeur moyenne du produit x''j°^°ri^,
Or on a
^au = i, '^b{i=i, ^a^ = o, ^bx — o; relie valeur moyenne sera donc
V. On trouverait, par un calcul semblable, que la valeur moyenne de x^z"^"^" est
(■/ — 3p') 2 <^c^xy + p' f I +2 ac . 2^v) ;
(66) ft ainsi de suite. En addilionnant, on obtient la valeur moyenne du produit
x'^'Çxn" + J%" H- z^'Ç" -+-. . .); cette valeur est
= (•/— 3f>t*)y][fla(«a 4- èp + fv -h...)]+ (p+2)^^, YI. On trouverait de la même manière
pour valeur moyenne du produit
et
(,< 3j,.)2[r7(«a + bp 4- ^7 +•-.)]-+•(? + 2) p^
pour valeur moyenne du produit
et ainsi de suite.
Nous aurons donc , par l'addition , la valeur moyenne du carré
elle sera
(v* - 3u') 2 [(«« + ^P + C7 -+-■ • OM -^ (P' + 2p)fx'. VIL Nous concluons enfin de tous ces préliminaires,
N = (ct — 2 p) •/ H- (ct' — CT — 2 nrp 4- 4 P + /^" ) P-* 4- (•/- 3p,^)2[(«a4-Mi + '^7+-- y]
- (v* - 3fx*) l^p - 2 (^«a 4- Ap 4- r7 4-. . .yj-
(67) Donc Terreur moyenne à craindre, loi^squon prendra
sera
La quantité
qui entre dans lexpression précédente, ne peut pas généralement se réduire à une forme plus simple. Cependant on peut assigner deux limites entre lesquelles sa valeur doit nécessairement être comprise :
i". On déduit facilement des relations précédentes,
(«a -h b(i -j- cy —. . .y -\- [a v! -f /^ ^' -+- cy' +...)' -4- (« a" 4- i fi" + cy" -f- . . . )^ 4- . . . = a a -+- /* fi H- f 7 H- . . . ;
d'où nous concluons que
rta -h ifi -h cy -f-. . .
est une quantité positive plus petite que l'unité, ou du moins qu'elle n'est pas plus grande. Il en sera de même de la quantité
qui est égale à la somme
(rt'a -+- //(i 4-c'7-l-...)'+ («'«'+ i'|i' + «'7'-h...)'
de même
a" j." -f- //'fi" -f- c" •/" -f-. . .
(68) sera plus petit que l'unité ; et ainsi de suite. Donc
est nécessairement plus petit que vs.
2°. On a
car
d'où l'on déduit facilement que
^[{a(x-\-bp-hcy-h.. .y]
est plus grand, ou du moins n'est pas plus petit, que - Par conséquent le terme
est nécessairement compris entre les limites
!: et ^ J-,
ts — p cj — p ZJ
ou bien, entre les limites plus étendues ,
Q- et '^-
Donc le carré de l'erreur moyenne à craindre pour la valeur
CT p
est compris entre les limites
in et — !-— ;
CI p C7 p ■
(6y ) de sorte qu'on pourra atteindre un degré de précision aussi grand que Ion voudra , pourvu que le nombre des observations soit suffisamment grand.
Il est très-remarquable que dans l'hypothèse de l'art. 9 (UI) , sur laquelle nous nous étions autrefois appuyé pour établir la théorie des moindres carrés, le second terme du cari'é de l'erreur moyenne disparaît complètement (car on a V* — 3fA* 1=0)5 et comme, pour trouver la valeur approchée (x, de l'erreur moyenne des observations, il faut, dans tous les cas , traiter la somme
comme si elle était égale à la somme des carrés des vs — p erreurs fortuites, il en résulte que, dans cette hypothèse, la précision de cette détermination devient égale à celle que nous avons trouvée, art. 15, pour la détermination déduite de cj — p erreurs vraies.
