PROBLÈME

Désignons par v, v', v", etc., les fonctions linéaires suivantes des indéterminées x, v, z, etc.,

V =: nx -\- by -h rz -f- • • • -h / , /,j ; v' =a'x -\rb'y-\-c'z-Jr. . .-\-l',

( 3o ) Parmi tons les systèmes des cocjficicnls y. , x.', x", elc. , qui (lotiucjit identiquement

k éta7it indépendant de x, y, z, etc., trouver celui pour lequel y.' -t- y.'^ -h y."^ -+- . . . est fninimum. Solution. — Posons

(«t' + rt'c'H- «"('" -f- . . =ç, bv -h h'v' -h b"v" H- . . . = >î , ff H- c'c' + c"('" -!-...= (;,

i, y/, ^ seront des fonctions linéaires de x^^j^z, et T

on

aura

-.'^ac+..

ou

et de même pour les autres 2.

Le nombre des quantités ?, /î,!^-, etc., est égal au nombre tj des inconnues x, y ., z. , etc.; on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante (*),

. .r = A -f-(aa) Ç + (ap)»5 + (a7)î;H-. .. ,

qui sera satisfaite identiquement lorsqu'on remplacera ii'^'iKi V^^ leurs valeurs (3). Par conséquent, si Ion

(*) On verra plus loin la raison qui nous a conduit à désigner les coefficients de cette formule par la notation (aa) , ( a/3 ) , etc.

{Isole de M. Gauss.")

(3r ) pose

ia {%y.)-^h {v.^) + c (a7) + . .= a,' a' (aa)-+- h' (a(5)-}-c' (a'/) + . . . = a', a" (aa) + h" [a.^) -he" (ay) + . . .= «",

on aura identiquement

Cette équation montre que parmi les différents systèmes de coefficients y., z', x", etc., on doit compter le système

On aura d ailleurs , pour un système quelconque ,

(x — a) <' -h (x'— a') (/+ (x"— a") ('"-h. . .= A — /-, ' et celte équation, étant identique, entraine les suivantes :

(y. a) « -t- [y! — «') fl' 4- (x" — a") rt" -t- . . . = o , (-^ a) ^. + (x' — a') ^.' 4- (-/' — a") è" + . . . = G , (.,. — a) c + (x' a') c' 4- (x" — a") c" + . . . = o.

Ajoutons ces équations après les avoir multipliées, respectivement, par (aa), (a(3), [cc/^ etc., nous aurons, en vertu du système (4) ,

(y. — a) a -h ; x' — a') x' -+- (z" — x") a" -h . . = G, cest-à-dire

x= + x'^ 4- . . . = a' 4- a'' + ...+ ( x — a)^ 4- (v/ - a')' 4- • • • i par conséquent, la somme

aura uiir v.dcur minimum, lorsque l'on aura

1) ailleurs < e(tc valeur minimum s'uhlieiidra de la ni;inièir suivante.

L'équation (5) moniro que l'on a

<7 a -4- a y! 4- rt" a" -h . . . = I , ^ X -f- Z»' a' H- Z>" a" -H . . . = G , c a + f ' v! -\- c" a" + . . = o ,

Multiplions ces équations, respectivement, par («a), (a|3), (ay), etc., et ajoutons 5 en ayant égard aux i-elations (4), on trouvera

a' -f- a'- + a"'^ -f- . . . = (aa).

Lorsque les observations auront donné des équations approximatives 4

il faudra, pour déterminer l'inconnue ;c, choisir une combinaison de la forme suivante ,

telle que l'inconnue x acquière un coefficient égal à i , et que les autres inconnues se trouvent éliminées.

Le poids de cette détermination sera , d'après l'art. 18,

D'après l'article précédent, on obtiendra la détermination la plus convenable , en prenant

I t II „//

alors X aura la valeur A. On obtiendrait évidemment la même valeur sans connaître les multiplicateurs a, a', a", etc., en efTecluant l'élimination sur les équations

le poids de cette détermination sera

et l'erreur moyenne à craindre

m \Jp {(xx) ■=. ni' \[j^ (aa) r= m" \ip^ (aa) = . . . .

Une marche analogue conduirait aux valeurs les plus convenables des autres inconnues y^ z, -etc., qui seront celles que l'on obtiendrait en effectuant l'élimination sur les équations

Si nous désignons par fl la somme

ou, ce qui revient au même,

on aura évidemment

di\ du fia

par conséquent, les valeurs des inconnues, déduites de la combinaison la plus convenable, et que nous pouvons appeler les valeurs les plus plausibles , sont précisément celles qui donnent à D. une valeur minimum. Or V — L représente la différence entre la valeur observée et la valeur calculée 5 donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et observées des <|uantités V, \', \", etc., ces carrés étant respectivement multipliés par le poids des observations. J'avais établi depuis longtemps ce principe par d'autres considérations [Thcoria 3Iofas Corporiim cœlcstiurn).

Si 1 on veut assigner la précision relative dfî cIkk nue des déterminations, il faut déduire des équations (3), les valeurs o. 3

( 34 ) de X, y, z, etc., qui se présenteront sous la forme suivante :

iA- = A + (aa)Ç -h{ap)n + (ayji; -h. .., j = B + (pa)? + (p8)>J + (P7)C+..., z == C H- (7a) H + (yp) >, + (77) (; + ....

Les valeurs les plus plausibles des inconnues a:, j , z, etc., seront A , B , C , etc. Les poids de ces détermiualions seront

et les erreurs moyennes à craindre

pour X, m \Jp [ac/.) =z m' s]p' (aa) , . . . , pour y, m s[^ (pp) = m' \U'{^^),. . . , pour z, m\/p{-^y) = m' s/p'{yy),.. .,

ce qui s'accorde avec les résultats obtenus antérieurement {Theoria Motus Corporum cœlestîum).

Le cas où il n'y a qu'une seule inconnue est le plus fréquent et le plus simple de tous. On a alors

il sera utile d'en dire quelques mots.

On aura

a = ^p, a' — s/p', a"=\iy' ,...,

/ = -Ls//i, t'=-h'\/p, i"=-v's/y',.. ,

et, par conséquent,

^ = {p -^ p' -h p" + . . .) X — (ph -+- p' V -i- p"L" + . . .) ; d'où

^ ^ p-hp'-hp"...

^ p-L-hp'î/-hp"L"-h...

(35) Ainsi, si, par plusieurs observations qui n'ont pas la même précision et dont les poids respectifs sont /? , //, p''^ etc., on a trouvé, pour une même quantité, une première valeur L, une deuxième L', une troisième L", etr., la valeur la plus plausible sera

p-lrp' + p" + ...

et le poids de cette détermination sera

Si toutes les observations sont également plausibles, la valeur la plus probable sera

c'est-à-dire la moyenne arithmétique entre les valeurs observées; en prenant pour unité le poids d'une observation isolée, le poids de la moyenne sera tj.

SECOiNDE PARTIE,

rHK8F,NTF.F. LE 3 FÉVRIER iSîS, A LA SOCIF.TK ROYALE t>E COTTINGLE.

Il reste encore à exposer quelques rccberches destinées à étendre et à éclairer la théorie précédente.

Cherchons d'abord si l'élimination qui fournit les variables x, y^ z, etc., en fonction do | , y; , ^, etc. , est loujouis possible. Puisque le nombre des équations est égal à celui des inconnues, on sait qu<r cette élimination sera possible ^^ it'*^')K'> ^^^' **'"'• J'idépendants les uns des autres; dans le ras contraire, elle serait impossible.

(36) Supposons, pom- un instant, que ^, », i^, etc. , ne soient pas indépendantes , mais qu'il existe entre ces quantités l'équation identique

or=F? + G>3 + Hi;H -+-K;

nous en conclurons

F'^a' + Q^ab -hR^nc-h. .. = o,

F^nb-hG^ h' -hn'^bc -[-... = 0,

F^ac-^G'^bc -{-H^c' -^...= 0,

F'Sal-^G'^bl-hB^cl -h.. =— K.

Posons

il viendra

a F -h b G + c H +. . .= 9, a'r-t-é'GH-r'H+...= 9',

a"F-hb"G + c"B.-h... = B\

«S -4- «'9' + fl"ô" + . . . = 0, bQ-hb'6'-{-b"fi"-{-...= o, cQ + c'O' -h c"e" + ...= o,

En multipliant les équations ( i), respectivement par ô, 6', 6", etc., et ajoutant , il vient

et cette équation entraîne les suivantes :

De là nous concluons , en premier lieu , K = o. En second lieu, les équations (1) montrent que les fonctions f', t^', ^"^ etc., sont telles, que leurs valeurs ne changent pas lors-

(37) que les variables x, /, z, etc. , prennent des accroissements proportionnels à F, G, H, etc. Il en sera évidemment de même des fonctions Y, Y', Y", etc. : or cela ne peut avoir lieu que dans le cas où il serait impossible de déterminer x^y, z, etc. , à Taide des valeurs de V, Y', Y", etc. , lors même que celles-ci seraient exactement connues; mais alors le problème serait indéterminé par sa nature , et nous exclurons ce cas de nos recherches.

Désignons par |3 , |5', (3", etc., des multiplicateurs qui jouent le même rôle relativement à l'inconnue j', que les multiplicateurs or. , a', a', etc., relativement à l'inconnue x, cVst-à-dirc tels, que l'on ait

a iP'^) + b (p^) + c{pv)+...= p,

on aura identiquement

pu -h pV-h p"('". . . = j — B.

Soient y, -/, y", etc. , les multiplicateurs analogues relatifs à la variable z tels, que l'on ait

« {y^) + b (7p)H-c (77) -<-... = 7, a' (7a) -H 6' (7,8) H- c'( 77) 4-. . =7'. o"{yx) +//' (78) +f"(^7 )+... = /',

et, par suite,

De la même manière que l'on a trouvé (art. 20)

( 38) nous trouverons ici

et ainsi de suite.

On aura aussi , comme dans l'art. 20,

2a' = (aa), J^^^ = {m^ ^V^^ (vv) , • • • •

Multiplions les valeurs a, a', a", etc. (art. 20), respectivement, par /j, ]S', jS", etc., et ajoutons; nous aurons

«P + a'p'+a"p"-h.. =(aP), c'est-à-dire

En multipliant |3, |S', Çj", etc., respectivement, par a, a', a", etc., et ajoutant, on trouvera

a[Î4-a'p'+a"p"+... =(Pa); donc

(ap) = (pa).

On trouverait, de la même manière,

(av) = (va) = 2 ^-V' (PV) -= (vP) = ^ Pv , • v- •

Désignons par X, X', X", etc., les valeurs que prennent les fonctions t^, u', i^, etc., quand on y remplace x^y, z, etc., par leurs valeurs les plus plausibles, A, B, C , etc., c'est-àdii^e posons

aA + bB-\-cC-\-...-i-l =A, a' A-h b'B-hc'C + . .+ /' = )/, a" A H- b"B + c" C -^ ... + /" = X" ,

Si nous faisoîis

(39) de telle sorte que M soit la valeur de la foJiction U, qui répond aux valeurs les plus plausibles des variables 5 M sera (art. 20) la valeur minimum de Cl.

Par suite,

al^a'l' + fi" >" -h . . .

sera la valeur que prend | , lorsque

x = A, X= B, z = Cy.. . .

Celte valeur est nulle, d'après la manière même dont A , B, Cy etc., ont été obtenus. On aura donc

on obtiendrait de même

^bl — O, ^CA=:0,...,

et

Enfin, en multipliant les valeurs de X, V, X", etc., respectivement, par X, X', X", et ajoutant, il viendra

/\ + i'y~hi"i"-i — = V -t- )/' + a'" -+- . . . ,

c'est-à-dire

Remplaçons , dans l'équation

p == rt.r -H /;/ -H 'Z H- • . . -h / ,

X, y, z, par les expressions (7) [art. 21] , on trouvera , en employant des léductions faciles,

Multipliant respectivement, ou ces équations ou les équations (i) de l'art. 20, par 1^1',//', etc., et ajoutant ensuite, on obtient l'identité

AC H- â' v' -+■ Vf" -]-...= m.

La fonction îî peut se présenter sous plusieurs formes qu'il est important d'indiquer.

Élevons au carré les équations (i) [art. 20J, et ajoutonsles membre à membre, nous trouverons

H = x^ 'Sa' -\- y' 'S b' -h z' ^ c' -h ■ . ^ -h 2XJ ^ab -+■ ixz ^^ or 4- lyz \^ èc + . . . + 2a: ^ al-{- iy ^ hl

c'est la première forme.

Multiplions les mêmes équations, respectivement, par v, v\ \>" , etc. , et ajoutons , on aura

il = ;^ -I- «j + (;z -i- , . -1- A' + /'f' -h /"('" -H . . . 5

remplaçons v^ v^, v^''^ etc. , par les valeurs indiquées dans l'article précédent , nous trouverons

n=:?x + J!j+!;z-h.. .— AÇ — Bv] — CÇ — . . . + M, ou

Ll = Ç(x — A) + r:(r — Vi) + 'C,[z — C)-h. . . -f- M :

c'est la seconde forme.

Enfin, remplaçons , dans cette seconde forme, x — A, y — B , z — C, etc. ^parles expressions (7) [art. 21], nous obtenons la troisième forme :

il = (aa) ^^-l-(p!5)>5' + (77)^'+----f-2(7.!i)H>, H- 2(av)HÇ + 2(p7)»,?-|-...+ M.

On peut donner une quatrième forme qui résulte évidemment de la troisième et des formules des articles précé-

dents, c"est-à-dire

Sous cette dernière forme on voit clairement que M est la valeur minimum de IÎ.

Soient e, e', e", etc., les erreurs commises dans les observations qui ont donné

Les vraies valeurs des fonctions \ , \', \ ", etc., seront alors

et les vraies valeurs de w, i^, w", etc. , seront respectivement

— es/p, —e's/p', — e" s/p^, ... ;

par conséquent , la véritable valeur de x sera

A — ae \fp — a'e' \jp' — c/." e' \Jp" — . . . ,

et Terreur commise dans la détermination la plus convenable de l'inconnue x sera , en la désignant par Ea:,

Ear = ae y/^ + a.' c' \j jJ + a." c" sj p" + . . . .

De même, l'erreur commise dans la détermination la plus convenable de la valeur dej' sera

Ej = (îr,- sjjj + p'e' y/^' + fi" 6-" s//7' + . . . . J.a valeur moyenne du carré (Ka)* sera

/«'/j (a' + a" 4- a"- -\- . , .) = uPp ( aa). 1.;» valeur moyemie de (Im)" sera de uiruie

(omme nous l'avons déjà reconnu. On peut également assigner la valeur moyenne du produit Kx. Ej^, qui sera

/«V(a? + «'^' + a"^"H-. . .)z=m'p (ap).

On énonce ces résultats plus brièvement de la manière suivante :

Les valeurs moyennes des carrés (Eo:)^, (Ej^)^,etc., sont

lespeclivement égales aux produits de — — par les quotients ditréreutiels partiels du second ordre d-Q. cfa

et la valeur moyenne d'un produit tel que Ea: .Ej est le produit de - m^p pa tion de |, vî, ^, etc.

produit de -ni^p par ", ■> en regardant lî comme fonc-

Soit / une fonction donnée et linéaire des quantités x, y, z^ etc., par exemple,

t=fx-\-gy + hz-Jr.. .-\-k;

la valeur de t déduite des valeurs les plus plausibles de X, y, z, etc., sera

nous la désignerons par K. En désignant par E^ l'erreur commise en l'adoptant, on aura

Ei =/Ex+ ^Ej + AEs -h.. .;

la valeur moyenne de cette erreur sera évidemment nulle, c'est-à-dire que l'erreur ne contiendra pas de partie constante, mais la valeur moyenne de (Et)', c'est-à-dire de la somme

/■^(Eaf -^ î/g'E.r.E/ + 2///E^.Ez -{- , . . + g'{^yV+ ishY.y.Y.z-^...

(43) sera, cVaprès l'article précédent, égale au produit de tti^p par la somme

/^(aa)+ 2/§'(a^)+ 2//i (ay) -+- . . .

c'est-à-dire au produit de in^ p par la valeur de la fonction fl — M, lorsqu'on y fait

Désignons par œ cette valeur de îl — M ; l'erreur moyenne à craindre, lorsque l'on prend £ = K, sera tn\jp(*i^ et le

poids de cette détermination sera -• Puisque Ton a identiquement

n M = (x — A) Ç + ( j- B) >, + (z- C) Ç +. . . , w sera égal à la valeur de l'expression

(ar-A)/+(j--B)^ + (z-C)/i+...

[qui représente [t — K)], dans laquelle on lemplacera o", y, z, etc., par les valeurs correspondantes à ^:=J\ ^=^' ^ = ^h etc.

Enfin, observant que f , exprimé en fonction des quantités ;, yj, ^, etc., aura K pour partie constante, si l'on suppose

t= F^ + G>î + HÇ +...4-K, on aura

w = /F4-é'G + /ni +. ..

iSous avons vu que la fductiou iî acquiert son minimum absolu M, lorsque l'on y fail

.r = A, j=îi, = = C,...,

<»u, ce (jui revient au niènie,

q — O. r, =z II, ; ^ (I

Si Ton altiibue à l'une des inconnues une autre valeur ; que l'on fasse, par exemple,

les autres inconnues restant variables, Q. pourra ac({uérir

une valeur minimum relative , qui s'obtiendra à l'aide des

équations

fia dCl

x = A4-A, —- = 0, __ — o,..., dj dz

et, par suite,

or, puisque

x=k -t- (aa)?+ {ap)/î-h(a7)(; + .. ., on en conclut

On trouvera de même

(aaj l^'^y

La valeur minimum relative de ft sera

Uoi)V H- M = M + ; ;•

(aa)

Nous en conclurons, réciproquement, que si il ne doit pas surpasser M -H /ui*, la valeur de x est nécessairement comprise entre les liaiiles A — u.\l[!xa)^ et A+/^v^(aa). Il est important de remarquer que |^v'(aa) devient égal à Terreur moyenne à craindre dans la valeur la plus plausible de x, si l'on pose

c'est-à-dire si i). est l'erreur moyenne d'observations telles, que leur poids soit l'unité.

Plus généralement, cherchons la plus petite valeur de la

fonction Q. qui puisse correspondre à une valeur donnée de f , t désignant , comme dans l'article précédent , Texpres-

sion linéaire

fx-hgf+hz-h ...-hk,

dont la valeur la plus plausible est K ; désignons par K-h-/. la valeur donnée de t. D'après la théorie des maximum et minimum, la solution du problème sera donnée par les équations

da

dx ~

da

dx~

-9 — , dy

dû.

clt

dz ~

dz

Ti =

9 désignant un multiplicateur encore indéterminé.

Si, comme dans l'article précédent, nous posons identiquement ,

/ = F> + Ct»,-|-HÇ + ...+ K,

nous aurons

k + -/=:S(/fh-^g + //H H- . .) + !<■;

d'où

w ayant la même signification que dans l'arlirle précédent. Puisque îî — INI est nue fonction homogèue du second degré, par rapport aux variables ^, y?, ^, etc., sa valeur pour

sera évidemment

et, par conséquent, la valeur minimum de îî, lorsque

sera

M -f- e'oj = MH- -.

Réciproquement, si H doit rester inférieure à une valeur donnée M + /jl% la valeur de f sera nécessairement comprise entre les limites R — y. \/(ù, K + p. y/o), et p y/o) sera l'erreur moyenne à craindre dans la valeur la plus plausible de î, si fji représente l'erreur moyenne d'observations dont le poids serait l'unité.

Lorsque le nombre des inconnues x,y, z, etc., est un peu grand , la détermination des valeurs numériques de A , B , C , etc. , par l'élimination ordinaire, est assez pénible. C'est pourquoi nous avons indiqué, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, et développé plus tard, dans le Mémoire sur les éléments de l'orbite de Pallas (Commentaires de Gottingue, t. I), une méthode qui simplifie ce travail autant que possible.

La fonction D. doit être ramenée à la forme suivante :

A," iJb' G" Cô' où les diviseurs cl>", ift)', O", (E)'", etc., sont des quantités déterminées; w<», ?/, u" , etc., sont des fonctions linéaires de x^y, z, etc., telles que la seconde u ne contient pas x, la troisième u" ne contient ni .rni j, la quatrième ne contient ni o", ni j, ni ^r, et ainsi de suite, de sorte que la dernière m(^— 0 ne contient que la dernière des inconnues ar, j-, ^, etc.; enfin les coefficients de j:, /, ^, etc., dans u», «', m", etc., sont respectivement égaux à eJU», ifb', G", etc. Alors on pose

li» = G , u' =■ o , a" = G , k'" = G , . . . , et l'on aura très-facilement les valeurs de x, y, 2, etc.,

(47) en résolvant ces e'quations et commençant par la dernière. Je ne crois pas nécessaire de répéter de nouveau Talgorithme qui conduit à cette transformation de la fonction D. (*).

Mais l'élimination qu'il faut effectuer pour trouver les poids de ces déterminations exige des calculs bien plus longs encore. ISous avons montré, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, que le poids de la détermination de la dernière inconnue, qui entre seule dans zfC'^— 0, est égal au dernier terme de la série des diviseurs al.o, aft)', G", etc. Cette recherche est facile; aussi plusieurs calculateurs, voulant éviter une élimination pénible, ont eu l'idée, faute d'autre méthode, de répéter la transformation indiquée en considérant successivement chaque inconnue comme la dernière. J'espère donc que les géomètres me sauront gré d'indiquer, pour calculer les poids des déterminations, une méthode nouvelle qui ne me semble plus rien laisser à désirer sur ce point.

Posons

( u'^ = xo.r -f- 1)1,0 j- -+- e°z -h. . .+■ ^^ (,) \ u' = -01,' j -f- G' ^ H- . . . -{- 4^' ,

on aura identiquement

cln=: ^(ix H- y, fir 4- Ç f/2 -H . .

du" u' du' u" du"

X» al!/ = a" I t/x + — dy H -^dz

\-^ oib' "" {dz-^.. .)

(") On trouvera ces calculs dans iino Note b la fin du volume. J. B

J'où nous déduirons :

in,»

Yl = H» -h K ,

Les valeurs de m", z/', m", etc., déduites de ces équations, se présenteront sous la forme suivante :

De la différentielle complète de l'équation

a = ?{a:- A) + »5(j — B) + Ç(z — C)-4-...+ M, retranchons l'équation

- r/a = 5 r/x + n Jjr + Çr/z 4- . . . ,

il viendra

~dn= {x — k)dt +[y ~-B)dn -\- {z — C)d^-\-

Cette expression doit être identique avec celle que l'on obtient à l'aide des équations (3), c'est-à-dire

~dl+!L (AVÇ -}- dr) + ^ [k."dl + B'V/y, -}-«?!:)+...;

on aura donc

x= HA'—T H-A"-T-l-...4-A,

En substituant dans ces expressions, les valeurs de u° ^ u', u", etc., tirées des équations (3), on aura effectué l'éli-

minaliou. Pom déterminer les poids, uous aurons

(5) imù- ^''^ë'''^'^"'^"'

. La simplicité de ces formules ne laisse rien à désirer. On trouverait des formules également simples pour exprimer les autres coefficients («h), («7), {fiy)i etc. 5 mais, comme leur usaiîe est moins fréquent, nous nous dispenserons de les exposer.

L'importance du sujet nous a engagé à tout préparer pour le calcul et à former les expressions explicites des coefficients A', A", A'", B", B'", etc.

Ce calcul peut être abordé de deux manières : la première consiste à reporter, dans les équations (si), les valeurs de u**, u', u", etc., déduites du système (3), qui doivent rendre ces équations identiques 5 et la seconde à exprimer, au contraire, que le système { 2) devient identique lorsqu'on y substitue les valeurs de ^, rj, ^, déduites du système (3).

La première méthode conduit aux formules suivantes :

-n + „ipA'-+-A"==o,

ft" CO' ., iS>"

Gs forumlcs feront connaître A', A", A'", etc.

( 5o) On aura eiisuilc,

CD' (B" Db' G"

qui donneront B", R'", etc. ; puis

TTFi ^^ — ^^1

qui feront connaître G", etc.; et ainsi de suite. La seconde méthode donne le système suivant :

JL" A' + in,« = o,

d'où l'on lire A' ;

X« A" + Db** B" + GO — o , iJb' B"+ G' z=ro, d'où l'on tire B" et A" -,

X' A'" H- iJb^ B'" + G" C" 4- Û3» =: o ,

<yi/ B'" + G' C"' -^Q' ==o,

Qf C" -{- (Q" = o ,

d'où l'on déduira C", B'", A'"j et ainsi de suite.

Les deux systèmes de formules offrent des avantages à peu près égaux, lorsque l'on veut les poids des déterminations de toutes les inconnues x, y, z, etc. 5 mais lorsqu'on ne clierclie qu'une seule des quantités (aa), ((3(3), (77), etc., le premier système est bien préférable.

D'ailleurs, la combinaison des équations (i) et (4) conduit aux mômes formides , et fournit, en outre, un second moyen d'obtenir les valeurs les plus plausibles

A , n, C, etc., qui sont

L'autre calcul est identique avec le calcul ordinaire dans Icfjuel on suppose

Les résultais obtenus dans Tart. 32 ne sont que des cas particuliers d un théorème plus général qui peut s'énoncer de la manière suivante :

Théorème — Si t représente la fonction linéaire suii'ante des inconnues x, y, z, etc.,

t —fx H- gj 4- /iz4- . . . + /•,

dont V expression en Jonction des variables u", u', u", etc.,

soit

K sera la valeur la plus plausible de l, et le poids de cette détermination sera

Démonstration. — La première partie du théorème est évidente, puisque la valeur la plus plausible de t doit correspondre aux valeurs

Pour dénionlnr la seconde partie, remanjucns que Ton a

- (lil = i,(l.c -+- nf/y -h^f/z-^. . . ,

e/t —f<lx + i^dy -V Udz->r. . ,

ri par conséquent, lorsque

on a

dCï = 2'dt,

quelles que soient les différentielles ^x, r/j, <7^,elc. Il suit de là qu'en supposant toujours ,

on aura

= h°du'-{- k'du'+ h" du" -h ....

Or on voit facilement que si les différentielles dx^ dj, dz , etc. , sont indépendantes les unes des autres, il en sera de même de r/a", di/^ du", etc.-, nous aurons, par conséquent, pour

uo = Jl,»A% u'=Ml'k', u"=e"k",

Par conséquent, la valeur de D. correspondant aux mêmes hypothèses, sera

ce qui , d'après l'art. 29, démontre l'exaclitude de notre théorème.

Si d'ailleurs on désire effectuer la transformation de la fonction f, sans avoir recours aux formules (4) (art. 32), on a immédiatement les relations

t =:=: CAO ri 1

qui permettront de déterminer 7t% A', /r", etc., et nous aurons enfin

Nous traiterons particulièrement le problème suivant , tant à cause de son utilité pratique, que de la simplicité de la solution :

Trouver les changements que les imleurs les plus plan-' sibles des inconnues subissent par l'adjonclion d'une nou-^ velle équation, et assigner les poids de ces nouvelles détermitiations.

Conservons les notations précédentes. Les équations primitives, réduites à avoir pour poids l'unité, seront

on aura

4, /î, (^, etc., seront les dérivées partielles

d£l dD. du

2 dx 2 dy 2 dz

et enfin on aura, par l'élimination,

!x = A + (aa) ? 4- (ap) v, + (a-/) ? + ..., 2 = C H- (av) H + (pv) 1 + (77) ^-^•■■,

Supposons maintenant que Ton ait une nouvelle équalion approximative,

dont nous supposerons le poids égal à Tunilc'-. Cherchons les changements que subiront les valeurs les plus plausibles A, B,C, etc., et celles des coefficients {olcc)^ (iS/S), etc. Posons

il 4- i>* ■' = Q* , J ^ 1 du* ^ I du* ^

2 r/.r ~ ^ ' 2 "IT^ "^ "^ ' 2 "777 ~ ^ ' ■ • • ' et soit

x^ A*-f- (aa*) ?* + (afi* 1-/5* -+- (ay^j^* -H ■ . .

h' résultat de réliniiu.iliou.

Soit enfin,

qui deviendra, en ayant égard aux équations (i),

.>*=FÇ+G« + Hi; + ...H-K, et posons