QUI EXPOSE AUX MOINDRES ERREURS

PRÉSENTÉ LE l6 SEPTEMBRE l8i6 A LA SOCIÉTÉ ROYALE DE (JOTTIXiiUE.

Dans le Mémoire précédent, on a supposé que les quantités à déterminer, à l'aide d'observations imparfaites, fussent dépendantes de certains éléments inconnus, en fonction desquels on sût les exprimer : le problème consistait alors à déduire des observations , le plus exactement possible, la valeur de ces éléments.

Dans la plupart des cas, c'est effectivement ainsi que la question se présente 5 mais quelquefois il en est un peu autrement, et l'on pourrait même se demander, au premier abord, si le problème se ramène au précédent. Il n'est pas rare, en effet, que les quantités auxquelles se rapportent les observations ne soient pas explicitement exprimées en fonction de certains éléments, et qu'elles ne paraissent réductibles à une telle forme que par des opérations difficiles ou ambiguës. Il arrive souvent, d'autre part, que la nature du problème fournit certaines conditions auxquelles les valeurs observées doivent rigoureusement satisfaii^e.

Cependant, en y regardant de plus près, on aperçoit que ce cas ne diffère pas essentiellement du précédent , et qu'il peut s'y ramener. Si l'on nomme, en effet, ts le nombre des grand<;urs observées, et a celui des éfjuations de condition.

en choisissant, parmi les premières, X3 — i quantités, rien ne nous empêche de les considérer comme nos seules inconnues, les autres étant regardées comme des fonctions de celles-là, que les équations de condition définissent. Par cet aitifice, nous rentrerons dans le cas du Mémoire précédent.

Néanmoins, quoique cette marche conduise souvent au résultat d une manière assez commode, ou ne peut nier qu'elle ne soit moins naturelle, et il est, par conséquent, désirable de traiter le problème sous l'autre forme, qui admet, du reste, une solution très- élégante. Il y a plus : celte solution nouvelle, conduisant à des calculs plus rapides que la précédente toute? les fois que ■r est moindre

que - CT , ou, ce qui revient au même, toutes les fois que le

nombre des éléments que nous avons désigné par p dans le

Mémoire précédent, est plus grand que -■> il faudra, dans

ce cas, préférer la solution nouvelle, quand bien même il serait facile, par la nature du problème, de faire disparaître sans ambiguïté les équations de condition.

Désignons par i', t^', u" . etc., les quantités, en nombre tj, dont les valeurs sont fournies par l'observation. Supposons qu'une inconnue dépende de celles-là et soit ex|)rimée par une fonction connue m, de p', v\ w", etc. Soient /, /', /", etc., ce que deviennent les quotients dillérentiels

(lu du du dv di> dv

lorsqu'on y substitue à i', v\ v" ^ etc., leurs valeurs \éritables. Si l'on substituait à 1% p-', v" ^ etc., dans la fonction li, leurs valcuis Ncrilables , on obtiendrait aussi la véritable valeur de u: mais si les i)l)scr\ alif>ns sont allée-

( 7^ ) toes derreuis e, e', e", etc., il en résultera pour u une erreur totale représentée par

le -h l'e' -^ l"e"-h...,

pourvu que l'on puisse , comme nous le supposerons toujours (lorsque u n'est pas linéaire) , négliger les carrés et les produits des erreurs e, e', e", etc.

Quoique la grandeur des erreurs e, e', e", etc., soit incertaine, rincertitude attachée à la valeur trouvée pour u peut généralement se mesurer par Verreur moyenne à craindre dans la détermination adoptée. D'après les principes développés dans le premier Mémoire, cette erreur moyenne est •

m, m', 77z", etc., étant les erreurs moyennes des diverses observations. Si toutes les observations sont affectées du même degré d'incertitude, cette expression devient

Il est clair d'ailleurs qu'au degré d'approximation auquel nous nous arrêtons, on peut remplacer /, /', Z", etc., par les valeurs que prennent les coefficients différentiels

du du du

dv dv' dv"

lorsqu'on y remplace v^ v' ^ v" ^ etc., par leurs valeurs observées.

Lorsque les quantités i^, v\ v" ^ etc., sont indépendantes, l'inconnue ne peut se déterminer que d'une seule manière, et l'incertitude attachée au résultat ne peut être ni évitée ni diminuée. Les observations fournissent une valeur de l'inconnue qui n'a, dans ce cas, rien d'arbitraire. Il en est tout autrement lorsque les quantités ^^ v\ u", etc., sont

(73) liées par des relations nécessaires , que nous supposerons exprimées par a équations,

X = o, Y=ro, Z = o,...,

X, Y, Z, etc . , désignant des fonctions données des indéterminées P", t^', v" ^ etc.; car, à la fonction u, on peut, dans ce cas, substituer toute autre fonction U telle, que la différence U — u s'évanouisse identiquement en vertu des équations

X = o, Y=ro, Z = o,

Si les observations étaient rigoureusement exactes, cette substitution ne changerait en rien le résultat; mais, en raison des erreurs inévitables , à chaque forme adoptée pour u correspondra un résultat différent, et l'erreur commise, au lieu d'être

le -h l'e' + l"e"+..., deviendra

Le 4- Ve' -t- U' e" -\- . . . ,

en désignant par I^, L', L", etc., les quotients différentiels

riU r/U dV

(h dv' dv"

Quoiqu il soit impossible d'assigner la valeur des diverses erreurs , nous pouvons cependant comparer les erreurs moyennes à craindre dans les diverses combinaisons. La combinaison la plus avantageuse sera celle qui donnera, à rerrcur moyenne, la valeur minimum. Cette erreur étant

nous devons chercher à rendre la somme

aussi (H'iitc; (juc possible.

Les fondions U, en nombre infini, par lesquelles on peul remplacer m, ne différeront les unes des autres, dans nos recherches, que par les valeurs qu'elles fourniront pour L , L', L", etc. : nous devons donc, avant tout, chercher les relations qui existent entre les systèmes de valeurs que peuvent prendre ces coefEcients. Désignons par

;nnen

t les

coefficients

Ih'

du" ' • • • '

ir.'

si l'on y substitue pour p», t^', v"^ etc., leurs valeurs véritables. Il est clair que si Ion donne à t^, t^', v" ^ etc., des accroissements dv^ dv' , du\ etc., qui ne changent pas X, Y, Z, etc., et leur laissent, par conséquent, la valeur zéro , ces accroissements, qui satisferont aux équations

o = adv H- a'dc' 4- a"du" -+-..., o = bdi> H- b'dv' -+- b"di>" H- . . . , o =z cr/c -f c'dv' H- c"dv" ->r. . . ,

ne changeront rien à la valeur de U — /f , et l'on aura , par conséquent,

o = (/— L) dv + [l'—V) dv'-\- (/"— L") dv"-\-

On en conclut facilemenl (jue L, L', L", etc., doivent avoir

(7^ ) la l'orme

L := l -h ax -\- b y -+- cz -h ■ ■ ■ , L' = /' + (i'.x H- b'j' -h c'z -\- . . . , L"= /'+ a" x-\- h" y + c"z -f- . . . ,

x^y^ z, etc., désiguantdes multiplicateurs déterminés, Récipi'oquem.ent , il est clair que , pour toutes les valeurs de x, >', z, etc., on pourra former une fonction U, pour laquelle les valeurs L, L', L", etc., seront précisément celles que fournissent ces équations , et cette fonction pourra , d'après ce qui précède, être substituée à u. La forme la plus simple qu'on puisse lui donner est

U=: « + xX+jY+zZ H-. . .-4- u',

u' désignant une fonction de ^^ , p-', p-", etc., qui s'annule identiquement lorsque X, Y, Z, etc., sont nuls, et dont la valeur, dans le cas actviel, sera maximum ou minimum (car ses dérivées devront toutes s'annuler). Mais l'introduction de cette fonction n'apporte aucune diflérence dans les résultats.

Il est maintenant facile d'assigner à x^y^, z, etc., des valeurs telles, que la somme