TT

cl c'I' c"l"

{cl).

La condition de minimum exige évidemment que l'on ait

io ~(aa)x'> H- (ab)y'> -h (ac) z^-Jr. . .-h {al), G = [ba) X' -i- (bb) fo -\-lbc) z" + . ..-{-{bl), o =(ca) x'-h {cb)x'> -h {ce) z» + , . . + (c/),

Après que ces équations auront fourni les valeurs de x",/", z'', etc., on posera

a x'^ -h b y" + c z" + . . . H- / = L, , s , a'x'-hb'f' + c'z''-]-.. . + l' = h',

''^' ^ a"x' + Iff + d'z' 4- . . . + /"= L",

et la fonction la plus propre à déterminer notre inconnue , à laquelle correspond l'erreur moyenne minimum, sera celle dont les coefficients dillerentiels, pour les valeurs con-

( 77 ) sidérées des variables, seront égaux à L, L', L'', etc. Le poids de la détermination ainsi obtenue, sera

c'esl-à-dire que -sera précisément la valeur que prend le

polynôme considéré plushaut, pour les valeurs des variables x, j", ^, etc., qui satisfont aux équations (i).

Dans Tarticle précédent, nous avons montré à déterminer la fonction U qui fournit la détermination la plus convenable de l'inconnue u. Examinons actuellement quelle est la 'va/ei/rqui en résulte Désignons-la par K: on l'obtiendra en substituant, dans U, les valeurs observées des quantités p», w' ^ v", etc. Soit h la valeur que prend u lorsqu'on y fait les mêmes substitutions, soit enfin y, la véritable valeur de cette inconnue, telle qu'on Fobtiendrait par la substitution des valeurs véritables de »^, P"', v"^ etc., soit dans ^^, soit dans U. On aura

/•=/ H- /e -t- /V + l" c" . . ., K = 5t -h Le H- Ve' -f- L" c" .. .,

et , par conséquent ,

Substituant, dans cette équation, à la place de L — /, L' — /', L" — /", etc., leurs valeurs fournies par (2), et |)Osant

' ae -\- a'e' -+■ a"e" -\-. , .== X, be -h b'e' -{-b"e"-h. . .=1)1,, ce -h c' e' ■+■ c"e" -h . . . = G,

nous aurons

(5) K = f^ -\- X x'' -h yi'o y -^ e z" -+-

( 78 ) 11 n'est pas possible de calculer cl>, m,, G, etc., parle moyen des formules (4), caries erreurs e,e',e",etc.,qui y figurent, ont des valeuis inconnues , mais on voit facilement que ces quantités .A , oRi, S, etc., ne sont autre chose que les valeurs deX, Y, Z, etc., qui correspondent aux valeurs observées de u, u', v\ etc., et alors le système des équations (i), (3), (5), forme la solution complète de notre problème. Il est clair, en effet, que l'on peut appliquer au calcul de a, a', rt", . . . , è , Z»', Z>", etc., la remarque faite à la fin de Fartide 2, à l'occasion des quantités /, Z', /", etc., c'est-àdire remplacer les valeurs véritables de v^ i^', ^'", etc., par les valeurs observées.

On peut substituer à la formule (3), qui représente le poids de la détermination la plus probable , plusieurs expressions qu'il est utile d'indiquer-, remarcjuons , d'abord, cju'en ajoutant les équations (2) après les avoir multipliées

a a' a" par -5 -75-77' etc., on aura p p p

, , , , , rtL n'\J a"\l'

(an) x" -i- [ab)f'>+ {ac) s» -+-. .

Le premier menibie est nul-, en désignant donc, d'après la notation adoptée, le second membre par (aL), on aura

(rtL) = o, et de même

(iL) = o, (cL)=o,....

L L' I/' Multiplions ensuite les équations (2) par -1 —'-^5 etc.-,

nous aurons , en les ajoutant ,

et , par suite , nous avons cette seconde expression du poids,

( 79 ) Si, enfin, nous ajoutons les mêmes équations (2) apiès

/ /' /" les avoir multipliées par -, -: 5 -r,i etc. , nous obtiendrons

P P P une troisième expression du poids ,

(«/)x»+(Z'/)j»+ (c/)z»+ ... -f-(//) où l'on a posé, conformément à la notation précédente,

On passera facilement de là à la quatrième expression du poids ,

-—{II) —{aa) Jc"'— [bb)y'>''— [cc)z'>'' — . .. — 2{ab)x''x'> — 2{ac)x''z'' — 2(^^)7" s» — . . . .

La solution générale que nous venons d'exposer s'applique principalement au cas où l'on n'a qu'w/ze seule inconnue à déterminer. Lorsqu'on cherche, au contraire, les valeurs les plus plausibles de plusieurs inconnues, dépendant des mêmes observations, ou lorsqu'on ignore quelles sont les inconnues qu'il faut, de préférence, déduire des observations, il convient de procéder d'une manière dilférente, dont nous allons actuellement nous occuper.

Considérons x, y, z ^ etc., comme des indéterminées, et posons

{(Jo)x -+- [ah) y -\-{ac)z-\- . . . = |,

,^. i{nb)x~\-[bb)y-^[bc)z-{- . . = » ,

{ac) X -\-{bc) y -f-(cc)3-f-.. .= ?,

Supposons (pie l'on en déduise, p.ir réliininalion ,

'.) ; (p.)^-H(PP)''-H(P7)Ç+-.- = r,

(8o) et remarquons, avant lout, que les coefficients placés symétriquement sont nécessairement égaux, c'est-à-dire que

comme cela résulte de la théorie de l'élimination et comme d'ailleurs nous le démontrons plus loin; nous aurons

x^-^- (aa) {al)-{a^){hl) - («7) {cl) -...,

y'> = -(p.){al)-(lip){bl)~{py)icl)-..

s» = - (7«) {al)-{yp) [bl] (77) (c/) . .

et en posant

(aa) X 4- (a[B) Db (o) ;((3a)x-f-((3^)ift,

nous obtiendrons

K = A—A{al) — B{bl) — C{cl)—.

et si nous posons de plus ,

a A -h b B-f-c G-h- ■ —p s, a' A-hb'B+c'C -h... = p' s', a"A-h b"B-hc"C -h... =p"z" ,

il viendra

La comparaison des équations (7) et (9) nous apprend ([ue les quantités auxiliaires A , B, C, etc., sont les valeurs que prennent les indéterminées Ji'-,J, z ^ etc., lorsque l'on suppose

on

on conclut évidemment,

t(aa)

{ab)B-{-{ac)

A iH

{bb)\^ + {bc)

.=:aPo,

\cb)B-h{cc)

En ajoutant les équations (lo) après les avoir multipliées

par -1 —,■) —rri etc., on obtient i p p p

l ^% = aî-ha'i' -h a"z" -h . . . , \ et de même

;i3) \^s\>^bt^h'z' ^b"t"-{-...,

-l> étant, commieonTadit, la valeur que prend X lorsqu'on substitue à ^^, v' ^ w", etc., leurs valeurs observées-, on aperçoit facilement que si l'on applique à chacune de ces quantités les corrections — s, — s', — e", etc., la valeur deX devient égale à zéro, et que de même Y, Z, etc., s'évanouis- -int par cette hypothèse. L'équation (i i) prouve aussi que K est la valeur que prend u par suite des mêmes substitutions.

En nommant compensation des obser^atio/is, l'application des corrections — s , — - e', — s", etc. , aux grandeurs directement observées, nous sommes conduit à une couséquence très-importante :

Les observations compensées comme nous l'avons indiqué, satisfont exactement à toutes les équations de condition, etfujit prendie à toute fonction des quantités observées la valeur qui résulterait de la combinaison la plus convenable des observations non modifiées-, et puisque les équations de condition sont trop peu nombreuses pour «|u'on puisse eu déduire les valeurs exactes des erreurs, nous aurons au moins trouvé, par ce qui précède, les erreurs les plus plausibles. C'est sous ce nom que 1rs ([(i.intités c, e', e", etc., seront désormais désignées.

Le nombre des observations étant plus grand que celui des équations de condition , outre le système des corrections les plus plausibles, on peut en trouver un norabre infini qui rendent les équations de condition exactement satisfaites.

Il importe d'examiner les relations qui lient entre eux ces divers systèmes. Soit — E, — E', — E", etc., un pareil système de corrections , autre que le système le plus plausible ; nous aurons

«E + a'FJ -f- a''E"-f- . .. = >%, cE-hc'E'+ c"E"-^... = e,

Multipliant ces équations par A , B, C, etc., et ajoutant, il vient, en ayant égard aux équations (lo),

peE-+-p'e'E' -hp"e"E" -^... = Ax-hByih-hCe-{-....

Mais les équations (i3) combinées de la même manière donnent

(i4);7£^+;>'e'*4-/£"' + ... = AX-HBDb + CGH-... j de la combinaison de ces résultats on déduit facilement

pE' ~h p' E" -h p" V.'" -h ... = p i' + p' s" + p" s"' -{-... + p[E-ey-hp'{E'-.'y + p'\E"-e"y + ...,

et, par suite, la somme

pE'-^p'E"-hp"E"'-i-. . .

est, nécessairement, plus grande que

ps' + p' t' -]- p" c"' -+- . .,

ce que l'on peut énoncer de la manière suivante : ■ Théorème. — Les carrés des corrections qui peu\^ent

( 83 ) concilier les observations avec les équations de condition étant respectivement multipliés par les poids des observations correspondantes , donnent une somme minimum quand on adopte les corrections les plus plausibles .

On reconnaît précisément le principe des moindres carrés dont, au reste, les équations (12) et (10) peuvent facilement se déduire. La somme minimum, que nous désignerons désormais par S, est égale, d'après l'équation {i4)î à

^ A -.1. -h B iJ'o + C 8 -h

La détermination des erreurs les plus plausibles étant indépendante de /, /', /", etc., fournit la préparation la plus commode, quel que soit l'usage que Ton veuille faire ultérieurement des observations. En outre, on voit sans peine que, pour atteindre ce but, il n'est pas nécessaire d'elîccluer l'élimination indéfinie , c'est-à-dire de calculer (aa) , (a|3), etc., il suffît de déduire des équations (12), par une élimination définie, les quantités auxiliaires A, B, C, etc., que nous nommerons, dans ce qui va suivre, les corrélatifs des équations de condition

ces quantités seront ensuite substituées dans l'équation (10). Cette méthode ne laisse rien à désiier lorsqu'on demande seulement les valeurs les plus plausibles des quantités fournies par l'observation. Mais il en est autrement lorsqu'on désire, en outre, le poids de chacune des valeurs trouvées. Quelle que soit alors celle des quatre formules précédentes qu<" l'on veuille employer, il est indispensable de connaître L, L', L", etc., ou , ce qui revient au même. x*, ;) ", c", elc.^ par cette; raison, il seia utile d'étudier, de ])lusprès, l'élimination i\n\ fournit ces quantités cl d'obtenir une méthode ])lus commode poui la délerminalion des poids.

( «4) Les relations qui lient les quantités dont nous nous occupons sont notablement simplifiées par la considération de la fonction indéfinie du second degré {aa)x'' -+-2{ab)xj -h 2 (ac) xz ^ . . .

+ {bb)y'-\-2{bc)xz +...+ ( rc) z' + ... ,

que nous désignerons par T.

Cette fonction est évidemment égale à

, ;,, (ax-]- bf + cz-h...y- , {a'x-hby-hc'z-{-..'y ,

De plus , on a évidemment

(l6) T— ta:-f-r,j+Cz-h. . .;

et si, enfin, ou exprime x, 7, ^, etc., au moyen des équations (7) , en fonction de 4 , y; , ^, etc., on aura

T = (aa) ^' 4- 2 (ap) ?>5 + 2(^.7) Il -\- . . . -^ {^^) a^ -h 2(p7)y3î:-+-. . .+ (77)!;= +

La théorie développée plus liant fournit deux systèmes de valeurs déterminées pour les quantités x,j^, z, etc., £ , •/] , ^, etc. Le premier est

x = x'>, X=J% z = z\..., E=-{al), n=-{bl), ^=-{cl), ..;

à ce système correspond la valeur

ainsi qu'on le voit en comparant à l'équation (16), la troisième forme du poids P, ou par la considération directe de la forme (4).

Le second système de valeurs est

la valeur correspondante de T est

(83 ) comme cela est évident par les formules (lo) et (i5), et encore parles formules (i4) et (i6).

Nous devons, avant tout, faire subir à la fonction T une transformation semblable à celle qui a été indiquée [Theoiia Motus , art. 182), et, avec plus de développements, dans les Recherches sur Pallas.

Posons, à cet effet,

[hc, i) = {bc) —

(bel, i)={hd)- (ce, 2) = (ce) —

(aa)

(ah ) (ad]

(aa)

(acy (bc,iy^

(aa) (bb, i)

(ac)(ad) (bc,\)(bd,i)

(aa) (bb,l) '

(dd, 3) = (dd) ■

(ad)' (bd,iY (cd,iy (aa) (bb,i) (ce, 7.)

et, ensuite {*),

(hb, i)y-^(br, i) 3 +(/;r/,i)cK + ...= „',

(ce, 2)z 4- (cd , 2) cv + . . .= Ç",

(dd, 3) fv -h . . .= ff'" ,

on aura

(aa) (bb,i) (ce, 7.) (dd , 3) ' ' et ri\ ^", ^f'", etc., se déduiront du ^, v; , (^, y, etc., par les

( * ) I):uis les calculs pn-codcnls il suflisail de trois leUrcs du chaqui* scrie (iniir faire apercevoir la loi des roriiuil(!S; il a paru nécessiiirc d'en l'aire ici lii;iircr une qiialriénie , |ioMr rendre l'alijoritiiiue plus nianif<!sle.

( iMotr de M. Gai si.

equations suivantes

[ab)

{(in)

[ac )

[aa)

{ad)

{aa)

, {bd,i) ,

{cd, 2) ,,

et l'on en tirera facilement toutes les formules utiles à notre but. Ainsi , pour déterminer les corrélatifs A , B, C, etc., nous poserons

{ah\

1)1)' = tft>

aa) ac \

{aa) {aa)

rX,

Oft,',

{bb,l)

i^d, i)^j {cd,i)^„

■bb,x)

et enfin A, B, C, D, etc., s'obtiendront par les formules suivantes, en commençant par la dernière :

{aa) A + {ab) B -f- («c) C + (a^) D -f- .

('9) { {cc,i)C^{cd,'i)Yy-\-

{dd,-i)Y)-^

. Ci"

Pour exprimer S, nous aurons la formule nouvelle

X' ilî," G"' . (£>"" .

{aa) {bb,i) {ce,-!.) (M,^)

enfin, le poids P, qu'il faut attribuer à la détermination la plus plausible de la quantité u, sera donné par la formule

M p={if]

[aiy

{ aa )

{!'i,iy {bb,i)

[cl,<

{di,3y

{dd, 3)

flans celte formule, ou fait

i ^ n , .y i r (^") (^^) {bc,i){bl,i)

[..-.) (^[cl,^)=.{cl,--j-^ (è^, ,) '

(«rf) (rt/) (^rf, i) [bl, i) (cc^, 2) [cl, 1)

{d/,3)={dl)~

(aa) (bb, i]

Les formules (17), •■•5 (21), dont la simplicité nelaisse rien à désirer, fournissent la solution complète de notre problème.

Après avoir résolu le problème que nous avions eu vue, nous allons aborder quelques questions secondaires qui éclaireront davantage l'ensemble de cette théorie.

Nous chercherons, en premier lieu, s'il peut arriver que lélimination qui fournit x^y, z, etc., en fonction de |, yj , ^, etc., devienne, dans certains cas, impossible. Cela aurait évidemment lieu si les fonctions ^, v! , (^ , etc., n'étaient pas indépendantes les unes des autres. Supposons, pour un instant, qu'il en soit ainsi, et que l'une d'elles puisse s'exprimer en fonction des autres, de telle sorte (juc Ton ait la relation identique

aï -4- fi» -f- 7? 4- . . . = o , a, (3, y, etc., désignant des nombr(\s déterminés.

On aura alors

rx[an) -\- [1,[ab) -+- 7 ( «r ) + . . . =r o ; u[ab) -\- ^[bb) -h 7 ( et) H- . . . =: ri ,' y-{nr)-Jr^,{bc) +7(fr)+... = o,

«i SI nous posoms

y.n -+- p 6 -4- 7 r -I- . . . =T ^ (-) , 'xn' 4- [i6' 4- 7c' -+-... = /''(-)', r/.a"-\- fi//' 4 7r"-+-. . . :r= p" &'

( 88 ) on en déduira

rt 0 -f- «'©'+«"©" 4- .. = o , he -h b'&' -\- b"&" -h. . = o, c@ -\- c'Q' -\- c"&" +. . . =r o.

et, par suite,

/ji-y -+■ p'e'" + /}"&"' -\- . . = o;

p^ p\ p", et( ., étant, par leui- nature, tous positifs, cette équation exige

Si nous considérons les différentielles complètes d\ , dY, <^Z, etc., répondant aux valeurs de t^, t^', t'", etc., immédiatement fournies par les observations, ces. difîéren-^

ti elles

adc + «' de' -+- a" th" -+-..., hdv + b' di'' 4- b" dv" + . . . , cdi> + c' di>' -+- c" dp" 4- . . . ,

d'après les résultats précédents, seront liées, les unes aux autres, de telle sorte qu'en les multipliant respectivement par a, ,6, y, etc., la somme des produits sera identiquement nulle, en sorte que, parmi les équations

il en est une au moins que l'on peut regarder comme inutile^ car elle sera satisfaite dès que les autres le seront.

En examinant la question de plus près, on voit que cette conclusion n'est applicable qu'à des valeurs des variables infiniment peu dillérentes de celles que fournit l'observation. Il y a , en eifet, deux cas à distinguer : le premier est celui où lune des équations

X=rO, Y=:0, Z=rO,...,

est renfermée dans les autres d une manière généi'ale et

absolue, et peut, par conséquent, être supprimée; le second est celui où , pour les valeurs particulières de ^', v', i^', etc., auxquelles se rapportent les observations, Tune des fonctions X, Y, Z, etc., X par exemple, acquiert une valeur maximum ou minimum, ou, plus généralement, une valeur dont la dillérentielle s annule lorsque les autres équations restent satisfaites.

Mais comme nous ne considérons pour nos variables que des variations dont les carres soient négligeables, ce second cas (qui dans les applications ne se présentera que bien rarement) , pourra être assimilé au premier, et Tune des équations de condition pourra être supprimée comme surabondante.

Si les équations restantes sont indépendantes dans le sens que nous venons d'indiquer, on peut, d'après ce qui précède, être certain que l'élimination est possible. Nous nous réservons, du reste, de revenir sur celte matière qui mérite d'être examinée comme subtilité théorique plutôt que comme question d'une utilité pratique.

Dans le premier Mémoire, art. 37 et suivants, nous avons montré le moyen de fixer, à posteriori, d'une manière très-approcliée , le poids d'une détermination. Si les valeurs approchées de ts quantités sont fournies par des observations également précises, et qu'on les compare avec les valeurs qui lésultent pour elles des hypothèses les plus plausibles qu'où puisse faire sur les p éléments dont elles dépendent, on a vu qu'il fallait ajouter les carrés des diiïérences obtenues , diviser la somme par cr — p, et que le quotient pouvait être regardé comme une valeur approchée du carré de rcrreui- moyenne iulu'rcnie à ce genre d'observations.

Si les observatious sont inégiilcnicni précises, la seule modification que l'on doive apporlei' aux préceptt's précédents, consiste en ce qne l'on d(»ii ninitiplier les cai'rés des

( 90 ) différences par les poids respectifs des observations correspondantes, et l'erreur moyenne obtenue de cette manière se rapporte aux observations dont le poids est pris pour unité.

Dans le cas actuel , la somme des carrés dont nous parlons se confond évidemment avec la somme S, et la différence Tj — p avec le nombre a des équations de condition. Par suite, pour l'erreur moyenne des observations dont le

poids est I, nous aurons l'expression 4 /-, et la détermination sera d'autant plus digne de confiance que (7 sera plus considérable.

Mais il est bon d'établir ce résultat, indépendamment des raisonnements du premier Mémoire; pour y parvenir, nous introduirons quelques notations nouvelles. Supposons qu'aux valeurs

Z = fi, n = b, Ç = c,..., répondent

x = cx., r = p , z = 7 , . . . ,

de sorte que l'on ait

a = « (ay.) + ^ (a,8) + c ( ^7 ) + . . . , !3 = ^(a(î) + 6(fi!ï)+c(fi7)-h..., 7 z= rt («7) -+■ 6 (P7) + f (77) H-. . ;

et, en outre, qu'aux valeurs

répondent

enfin, qu'aux valeurs

H = a", r, = li", Ç = c" , . . . , répondent

pl ainsi de suite.

(90 La combinaison des équations (4) et (9) fournit

A = ae H- a'p' -h ^" c" -h . . . , B = S e + p' e' + p"e" 4- . . . ,

et, comme on a

S = X A + iiV) B + G C + . . . ,

on aura

S = («^+ a' e' +a" e" -\-. . .) {olc ■+- a.' e' ^- a." e" -^ . . .) -h {be -h b' e' -+- b" e" -h . . .) {^e -h ^' e' -^ p" e" -h . . .) -^ {ce -+■ c'e' -+- c"<7" + . . .) (7^-4- '/ e' -\- -/' e" + . ..)-{-...,

La série des obsei'vations qui fournissent les quantités w, u' , u", etc., affectées des erreurs fortuites e, e', e", etc., peut être considérée comme une épreuve qui ne fait pas connaître, il est vrai, la grandeur de chaque erreur, mais qui, par le moyen des règles exposées plus haut, permet de déterminer la quantité S, fonction connue de toutes les erreurs. Dans une telle épreuve, les erreurs peuvent être les unes plus grandes, les autres plus petites; mais plus sera grand le nombre des erreurs employées, plus il y aura une grande probabilité que S diffère peu de sa valeur moyenne : la difficulté revient donc à trouver la moyenne de S.

Par les principes exposés dans le premier Mémoire et qu'il est inutile de reproduire ici , on trouve pour cette va^ leur moyenne

{aci-\- bp -hcy -|- . . . ) m' + (n'a -+- b' fi' -+- c' y' -h . .) m" -+-

En nommant a l'erreur moyenne qui coi respond aux observations dont le poids est i , de telle sorte que Ton ait

rjL- = />//;' = /;'///' = f}"ni"' =r . , . ,

( 9^- ) I expression pre( cdente pcul s'écrire comme il suit :

/cj c' 'l' c'S"

Mais on a trouvé a a. a' a' a" a"

y 4- -y- + —7- +...= (HM + («^) («P) + H («7) +••• ;

or, le second membre est l'uniié, comme on le reconnaît facilement par la comparaison des équations (6) et (7). On trouvera de même

bj P

//fi' p'

et

ainsi

de

suite.

D'après cela, la valeur moyenne de S devient cry.% et si 1 on juge permis de regarder la valeur fortuite de S comme égale à la valeur moyenne, on en conclut

On peut apprécier la confiance que mérite cette détermination en calculant l'erreur moyenne à craindre, soit pour sa valeur propre, soit pour celle de son carré. La seconde sera la racine carrée de la valeur moyenne de l'expression

dont le développement s'obtiendra par des raisonnements semblables à ceux qui ont été exposés dans le premier Mémoire (art. 39 et suivants). Nous les supprimons pour abréger, en nous contentant d'indiquer le résultat.

( 93 ) L'erreur moyenne à craindre dans la détermination du carré (x^ s'exprime par

2 lA* V* 3 H.*

V* étant la valeur moyenne des quatrièmes puissances des erreurs dont le poids est l'unité, et N la somme

{aoc-{-b^-hcy-h...y+{n'oi'^h'(i'-{-c'y'-h...)'

+ [a" ce" + b"p" + c"y"-h. ..)'+••••

Cette somme ne peut pas, en général, se simplifier; mais, par un procédé analogue à celui dont on a fait usage au paragraphe 40 du premier Mémoire, on peut montrer que sa

valeur est comprise entre cî et — Dans l'hypothèse sur laquelle nous avions primilivoment établi la méthode des moindres carrés, le terme qui contient cette somme disparaît à cause de

et la précision que l'on doit attribuer à la détermination

est par conséquent la même que si Ion avait opéré sur tf observations entachées d'erreurs exactement connues, conformément aux préceptes des art. 15 et 1() du premier Mémoire.

Pour la compensation des observations, il y a, ( ommc nous l'avons dit, deux opérations à exécuter: prcniièrenlenl, il faut déterminer les corrélatifs des équ^ilions de condition, c'est-à-dire A, R, C , etc., qui satisfont aux é(juations (l'-i); secondement, substituer ces (juanlités dans l'équation (lo). La compensation ainsi obtenue peut être dite parfaite et coni/ilr/e^ par opposition à la comiicnsalion iniparjailc ou ituoniplilc. iNous désignerons de celte der-

nière manière celles qui résultent des mêmes équations (lo), dans lesquelles on substituera des valeurs de A, B, C qui ne satisferont pas aux équations (12), c'est-à-dire qui satisferont à quelques-unes seulement, ou à aucune. JNous ne nous occupei"ons pas ici d'un tel système de corrections, et nous ne leur accorderons même pas le nom de compensation.

Lorsque les équations (10) sont satisfaites, les systèmes (12) et (i3) deviennent équivalents, et la différence dont nous parlons peut alors s'énoncer comme il suit : Les observations complètement compensées satisfont aux équations de condition

les observations incomplètement compensées ne satisfont qu'à une portion de ces équations, et peut-être à aucune; la compensation à la suite de laquelle toutes les équations sont satisfaites, est nécessairement complète.

Il résulte de la définition même des compensations, que la réunion de deux systèmes de compensations peut en fournir un troisième, et l'on voit qu'il importe peu que les règles données pour obtenir une compensation parfaite soient appliquées aux observations primitives ou aux observations déjà imparfaitement compensées.

Soient — 0, — 0', — ®'\ ^'ic., un système de compen^ sations incomplètes, résultant des formules

.ep = A"rf -+-B°i -T-Cc + .., • \ e'p' — A'a' -\-]i''b' -^ Ce' ^...,

^ ' ^ -" -" — A'rt" -h B^b" + CV" H- . . ,

je" ;/'--=

Les observations ainsi changées ne satisfaisant pas à toutes les équations de condition, soient A^*^ i)b*, ©'*', etc., les valeurs que prennent X, Y, Z, etc., quand on y substitue les valeurs ainsi obtenues pour w, v' , p-", etc. On devra cherclier les valeurs A*, B*, C*, eîc, satisfaisant aux équa-

lions

X* = A* {aa) -h B* [ah] -+- C* {ac) H- . . . ,

\ x^\,* = A*{ah)^}i*{bb) -i-C^bc) -h..., ^ ^ ]e* = A*{ac)+B*{bc)-hC*[cc)-h...,

et cela fait, la compensation complète des observalions ainsi modifiées se fera par les nouveaux changements — x., — •/-', — y.", etc.; >t , h', y.", etc., se déduisant des formules

'.p = A*a -hB*b -\-C*c -h...,

Cherchons comment ces corrections s'accordent avec la compensation complète des observations primitives. Il est clair d'abord que l'on a

a * = X — ae — a'e' — a"(à" — . . . , t,..* = yii, — be — b'@' — b"(d" — . . . , S* = S — c0 — c'(d' — c"Q" ~. . . .

F^n substituant dans ces équations, pour 0, 0', 0", etc., leurs valeurs fournies par le système (I), pour A.*, Hb*, S*, etc., celles que donne le système (II), il vient

X = (A« + A*) [aa] + (HO-f-B*) [ab)-^..., ,i\,=r{A'' + A*) [ab] -h(B«4-B*) [bb)+.... = [A' -h A*) [ac] + (P)» + B*) (/;c) -h. . . :

et il suit de là que les corrélatifs des équations de condilion (12) sont

A = A» 4- A*, B = B» -+- B*, C = C» H- C*, . . . , cl alors les équations (10), (I) et (III) montrent que l'on a

et. par sullc, la compensation parfaite a la même valeur pour chaque inconnue, soit qu'on la calcule directement, son qu'on roblienn'? mérli.iieineni en partant d'une compensation incomplète.

Lorsque les équations de condition sont très-nombreuses, la détermination des quantités corrélatives A, B, C, etc., peut exiger des calculs tellement longs, que le calculateur en soit rebuté ^ il pourra être avantageux d'obtenir, dans ce cas, une compensation complète, à l'aide d'une série d'approximations reposant sur le théorème de l'article précédent. On partagera, pour cela, les équations de condition en deux ou plusieurs groupes, et l'on cberchera d'abord une compensation qui rende satisfaites les équations du premier groupe. On traitera ensuite les valeurs modifiées par ce premier calcul , et on les corrigera de nouveau en ayant égard seulement aux équations du second groupe. Ce second calcul donnera des résultats qui , en généial, ne satisferont plus aux équations du premier groupe, et il faudra , si l'on n'a formé que deux groupes, revenir alors au premier et Y satisfaire à l'aide de nouvelles corrections. Les observations seront ensuite soumises à une quatrième compensation , dans laquelle on n'aura égard qu'aux conditions du second groupe; et en opéi^ant ainsi alternativement sur l'un et l'autre gi'oupe d'équations, on formera des corrections qui seront nécessairement de pltis en plus petites. Si le choix des groupes a été fait habilement, on arrivera bien vite à des valeurs que les corrections ultérieures ne changeront plus.

Quand on forme plus de deux groupes, on doit procéder de la même manière, les divers groupes étant employés successivement jusqu'au dernier, après quoi ou revient au premier pour les reprendre dans le même ordre. Il nous suffit d'avoir indiqué ce procédé, dont la réussite dépendra beaucoup de l'habileté du calculateur.

Il nous reste à donner la démonstration du lemme admis

(97) dans Tart. 8. Adoptons, pour plus de clarté, des notations plus propres à mettre la démonstration en lumière.

Soient x", x', x", etc., des indéterminées 5 supposons que les équations

n'Ojc" -h n"x' -h n"x" -i-.. .=:X', ;/2o j-o , „ii ^' , ^■•2 y' i- . . . — X",

aient donné, par élimination, les suivantes ;

W X» -h N«' X' + K»' X" 4- . =r x\ TVfio X» -+- N" X' + N'= X" + . . . = x\ 7>j:.o x" ^ N^i X' + IN-2-^X" + . . . = :c",

En substituant, dans les deux premières équations du second système, les valeurs de X**, X', X", etc., fournies par Je premier, nous obtiendrons deux équations identiques :

x" = N"» («"' ^" -h n"' x' -4- «"= x" -h . . . ) -f- N<" («'«a:» + /i"x'h- n"x" -f-. . .) -+- N" («'" x" + «-' ar' -h /2'= a:" H- . . . ) -h N»= («•■"x" -J- rt" jc' + «".r" -f- . . )

y = IN^° («'"' X» 4- «<" x' -+- «"' x" + . . . ) -+- N" («"'a"' -t- «" Jt' + «"jr"H-. .) -H W{n-">x'' H- «",r' + «»x"+. . .).

Ces équations étant identiques, on peut y substituer telles quantités que l'on voudra à la place de x^, x', x", etc. Faisons dans la première

et dans la seconde

jr« = N»', x' = IN" , x" = N",

l'.ii rctrnncbnnU'iisuilc Icsdcux idenlilésmembreà membre,

(98 ) il viendra

N'» — IV" — (N»" N" -- X'" iN"') («"' — «'") -H (N«» N'- — W> N") («»' - «'») -4- (N»» N'^ — N"> N»3) («" „3o)

Ce que l'on peut écrire plus brièvement de la manière suivante :

Of ,j3 désignaîit deux indices pris au hasard \ on conclut de là que les égalités

et, généralement ,

entraînent nécessairement

W = N"'; et, comme l'ordre des indéterminées est arbitraire, il est évident que, dans la supposition admise, on aura généralement

La méthode exposée dans ce Mémoire devant surtout s'appliquer utilement aux calculs de haute géodésie, le lecteur nous saura gré d'y joindre quelques exemples puisés dans cette partie de la science.

Les équations de condition qui existent entre les angles d'un système de triangles, peuvent, en général, se partager en trois catégories.

] . La somme des angles horizontaux , formés autour d'un

( 99 ) même sommet et embrassant la totalité de 1 horizon , doit être égale à quatre droits.

IL La somme des angles de chaque triangle peut toujours être regardée comme connue •, car, lors même que le triangle est situé sur une surface courbe, l'excès de la somme de ses angles sur deux droits peut être calculé avec une telle approximation, qu'il est permis de considérer le résultat comme absolument exact.

IIL Enfin , on obtient un troisième genre de relations on examinant les rapports des côtés dans les triangles qui forment un réseau feimé. Si, en effet, les triangles sont tellement placés, que le second triangle ait un côté a commun .avec le premier, et un côté b commun avec le troisième^ si le quatrième triangle a deux côtés c et c? respectivement communs avec le troisième et le cinquième, et ainsi de suite, jus(ju'au dernier triangle, qui ait avec le précédent un côté commun h , et avec le premier de tous un côté commun /, les ((uofioMis

pourront se calculer au moyen des angles qui leur sont opposés dans le triangle dont les deux côtés comparés font partie, et comme le produit de ces fractions est évidemment l'unité, on aura une relation entre les sinus des divers angles mesurés (diminués du tiers de l'excès sphérique ou spliéroïdique lorsqu'on opérera sur une surface courbe). Du reste, dans les réseaux un peu compliqués, il arrive souvent que les équations de la seconde et de la troisième catégorie rentrent en partie les unes dans les autres, et que, pai- suite, leur nondjre doit être réduit. Au contraire, il pourra arriver, mais seulement dans des cas assez rares que Ton adjoigne quelques équations nouvelles à celles de la seconde calégoiie; c'est ce qui aura lieu lorsque le léseau ronliondrn des jiolygones non di\isées en triangles; on

. pourra alors iiUroduire tics équations relalivcs aux figures qui ont plus de trois côtés. Dans une autre occasion, nous reviendrons avec plus de détails sur ces diverses circonstances, dont r examen nous éloignerait en ce moment de notre but. Nous ne pouvons cependat\t nous dispenser de faire ici une remarque indispensable à ceux qui voudraient faire l'application rigoureuse de notre théorie : nous supposons toujours que les quantités désignées par p", t^', u'\ etc., ont été observées immédiatement, ou déduites d observations telles , que leurs déterminations soient indépendantes les unes des autres, ou, au moins, puissent être regardées comme telles. Dans la pratique la plus ordinaire, on observe les angles que Ton peut regarder comme étant les éléments. ^', v»', i^"^ etc., eux-mêmes. Mais on ne doit pas oublier que si le système contient, en outre, des triangles dont les angles n'aient pas élé directemeiU observés ei aient été déduils de ceux que l'on connaissait, par des additions ou soustractions, ces angles ne devront pas être mis au nombre des grandeurs déterminées par l'observation, et l'on devra les faire entrer dans le calcul comme des fonctions des éléments qui ont servi à les former. Il en sera autrement si l'on adopte la méthode d'observations de M. Struve [^stronomische Nachrichten, II, page 43 1), qui consiste à déterminer toutes les directions autour d'un même sommet , en les rapportant toutes à une seule et même direction arbitraire. Les angles mesurés ainsi seront pris alors pour u , t^', y", etc. , et les angles des triangles se présenteront tous comme des différences. Les équations de la première catégorie devront, dans ce cas, être suppriméis comme superflues, car elles seront identiquement satisfaites. Le procédé que j'ai suivi moi-même dans les triangulations exécutées pendant ces dernières années, diffère des deux méthodes précédentes; on peut cependant l'assimiler, quant au résultat, avec le procédé de M. Struve , en ce sens que , dans chaque station , on doit regarder t', \'\^'\ etc., comme les angles forn\és

( loi ) ])Ai- les directions qui cii parlent, avec une même ligne arbitrairement choisie.

Nous donnerons deux exemples : le premier se rapporte au premier mode d'opération, et le second est relatif à des observations faites d'après la seconde méthode.

Le premier exemple nous sera fourni par l'ouvrage de M. Krayenhof : Précis historique des opérations trigonométriques faites en Hollande. JNous chercherons à conipensevX'A partie des observations relatives au terrain compris entre Harlingen , Sneek , Oldeholtpade , Balluni , Leeu warden, Dockum , Drachten, Oosterwolde et Groningen. Entre ( es points , on a formé neuf triangles numéroîés, «lans l'ouvrage cité, 121, 122, 123,124, i25. 127, 1 0.8 , i3i, i32. Les angles observés sont les suivants :

TUIAXCI.E I?. I.