EXPOSITION DE LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS

(Extrait du Theoria MoLus Corporum cœleslium.)

Abordons maintenant une recherche beaucoup

phis générale et des pkis fécondes dans toute application du calcul aux phénomènes naturels. Soient V, V, Y", etc., y. fonctions des v inconnues p^ q, r, 5, etc., et supposons que des observations directes aient donné, pour ces fonctions , les valeurs

En général, le calcul de ces inconnues constituera un problème indéterminé, déterminé ou plus que déterminé, suivant que l'on aura

fi <^ V , u =: V , OU p. t> ■•< ( * )•

Nous ne nous occuperons ici que du dernier cns, dans lequel évidemment il ne serait possible d'obt<'nir une représentalion exacte de toutes les observations, que si ces observa-

{*) Si, dans ce troisième cns, // + i — v des fonctions \' , V, V", etc., pouvaient b\.re regardées comme des fonctions de toutes les autres, le problème deviendrait plus que déterminé relativement à ces fonctions, mais indétcmiiiic relativement & p, q, v,s , etc. On no pourrait pas en déduire les valeurs de ces dernières, même si les valeurs des fonctions V, V, A", etc., étaient d'une exactitude absolue : mais nous excluons ce ras particulier de nos recherches.

lions n'étaient affectées d'aucune eireur. Mais comme cela n'a jamais lieu dans la nature, on devra regarder comme possible tout système de valeurs des inconnues p^ q^ r^ J, etc., desquelles résultent, pour les fonctions V — M, V — M', Y" — M", des valeurs qui ne surpassent pas les limites des erreurs que l'on peut commettre dans les observations, mais on ne doit pas regarder tous ces systèmes possibles comme jouissant du même degré de probabilité. Supposons d'abord, dans toutes les observations , un état de choses tel, qu'il n'y ait pas lieu de regarder l'une d'elles comme plus exacte qu'une autre, c'est-à-dire, que l'on doive regarder des erreurs égales dans cliacurAC d'elles comme également probables. La probabilité qu'une erreur A soit commise dans l'une des observations sera une fonction de A, que nous nommerons (p (A) . Quoique cette fonction ne puisse être assignée d'une manière précise, on peut du moins affirmer qu'elle doit devenir maximum pour A = o, avoir dans la plupart des cas la même valeur pour des valeurs de A égales et de signes contraires, et, enfin, s'évanouir quand on donne à A une valeur égale ou supérieure à l'erreur maximum -, 9(A) doit donc , à proprement parler, être rapportée à la classe des fonctions discontinues, et, si nous nous permettons, pour la facilité du calcul, d'y substituer une fonction analytique, il faudra que cette dernière soit choisie de telle sorte qu'elle tende rapidement vers o à partir de deux valeurs de A, l'une supérieure , l'autre inférieure à o , et qu'en dehors de ces deux limites on puisse la considérer comme nulle. Or la probabilité que l'erreur soit comprise entre A et une quantité A -f- r/A qui en diffère infiniment peu, sera exprimée par 9 ( A) . r/A, el, par suite, la probabilité que l'erreur est comprise entre D et D', par

Cette intégrale, prise depuis la plus grande valeur néga-

live de A jusqu'à sa plus grande valeur positive, ou plus généralement depuis A = — oo jusqu'à A = oo , devra nécessairement être égale à i . On aura donc

ep (a)^A= I.

Supposons donc qu'on ait un système déterminé de valeurs des quantités /?, «7, r, s, etc. : la probabilité que l'observation donnera pour V la valeur M, sera exprimée par (js (M — V) , après qu'on aura substitué dans Y les valeurs de/?, ç, r,5, etc. 5 de même «p {M' — V), (p (M" — V") , etc., exprimeront les probabilités pour que les observations donnent aux fonctions V, \ ", etc., les valeurs M\ M", etc. C'est pourquoi , tant qu'on pourra considérer toutes les observations comme des événements indépendants les uns des autres , le produit

exprimera la probabilité que toutes ces valeurs résulteront eu même temps des observations.

De même qu'en se donnant des valeurs quelconques des inconnues, il en résulte, avant toute observation , une probabilité déterminée pour un système de valeurs des fonction V, V, \ ", etc., de même , après que l'observation aura donné pour ces fonctions des valeurs déterminées, il en résultera pour clia([ue système de valeurs des inconnues qui en découleront, une probabilité déterminée : car il est clair qu'on devra considérer comme les plus probables les systèmes qui donnent à l'événement observé la plus grande prf)bal)ililé. L'appréc iation de cette probabilité peut s'obtenir par le théorème suivant :

Sij en adoptant une certaine hypothèse H, /a probabilité d'un événement determine K est h, mais quen adoptant une autre hypothèse H', exclusi\'c de la prcniirre ei en ant

( Ilfi )

à priori la même probabilité, la probabilité du même événement soit h' : je dis que lorsque V événement E aura eu lieu, la probabilité que H soit la 'vraie hypothèse sera (i la probabilité que H' soit la vraie hypothèse comme h est à h'. Pour le démontrer et afiiide distinguer toutes les circonstances d'où peut dépendre, soit que riiypothèse H ou H' , ou toute autre ait lieu, l'arrivée d'un événement E ou d'un autre événement, formons un système des cas différents ([ui peuvent se présenter et que nous regarderons comme également pi'obables à priori (c'est-à-dire tant qu'il y a doute si c'est l'événement E ou un autre qui aura lieu). Ces cas peuvent être ainsi distribués :