NOMBRE DES CAS

llYPOTliÈSE

proDie à ces cas.

ÉVÉSEMEXT

([iii doit en résulte!-.

Différent de E

Différente de H et de H'

Different de E

On aura d'après cela

Or, avant l'arrivée de l'événement, la probabilité de 1 hypothèse H était

Après 1 événement qui exclut n -f- //-h n" cas, parmi ceux qui sont possibles, celte probabilité sera

De même les piobabililés de l'hypothèse II' avant et après l'événement sont respectiveniint

mais, comme on a supposé que les hypothèses H et H' avaien i avant l'événement la même probabilité, on aura

m -\- fï r=z m' -f- n' y

d'où résulte immédiatement la vérité du théorème.

Si maintenant on suppose qu'on n'a , pour déterminer les inconnues, que les observations

et que tous les systèmes de valeurs des inconnues étaient également probables avant ces observations, il est visible que la probabilité d un certain système, après ces observations, sera proportionnelle à Q.. C'est-à-dire que lQ.(1p(Iqdr. . . exprimera la probabilité que les valeurs des inconnues soient respectivement comprises dans les limites infiniment voisines petp-{- dp, q el q -\- dq, r et r -f- dr, . . . , "k représentant une quantité indépendante de /;, ^, r, s, etc.; et l'on aura évidemment

^= / / / ••• Çlrlpclqdr...,

De là résulte natur(;llemcnt (jue le système le plus [)i(>bable des valeurs àc p, <y , r, etc., corn-spondra au maxiiiuim de lî, et se tirera des v «'(pintions

du dçi dn

dp dfj dr

si 1 on pose

( i'8 ) ces équations prendront la forme suivante :

dv , , ^ dv' dv" , , „.

du , , , di>' , . ,. dv" , , „.

Do là résulte qu'on pourra obtenir par l'élimination une solution pleinement déterminée du problème, dès que la nature de la fonction (^' sera connue. Mais comme cette fonction ne peut être définie à priori , abordons la question à un autre point de vue et cherclions une fonction acceptée tacitement comme base, en vertu d'un principe simple et généralement admis. Or on a coutume de regarder comme un axiome l'hypothèse que si une quantité a été obtenue par plusieurs observations immédiates, faites avec le même soin dans des circonstances semblables, la moyenne arilhmétique des valeurs observées sera la valeur la plus probable de cette quantité, sinon en toute rigueur, du moins avec une grande approximation , de telle sorte que le plus sûr soit toujours de s'y arrêter. Si donc l'on pose

on devra avoir en général

«>' (M — /?) + cp' (M' — /^) 4- <p' (M" — />) -H . . . = o

pour toute valeur entière et positive de ii. Faisant ensuite

on aura généralement

d"où l'on tire facilement que --—- doit être en général une

constante k. On aura donc

log (p (A ) = j /,■ A- -h const. ={ /, y- -h log X , d'où

Or on voit facilement que la constante A doit être négative, pour que Q. puisse devenir maximum : posons donc

et comme, d'après un élégant théorème de Laplace, on a

;i'A' , v^TT

notre fonction deviendra

La fonction que nous venons de trouver ne peut pas exprimer, en toute rigueur, la probabilité des erreurs, puisque les erreurs possibles étant toujours renfermées entre certaines limites, la probabilité d'erreurs plus grandes devrait être toujouisnulle, tandis que notre fonction a toujours une valeur finie. Cependant ce dcfaul, que présenterait également toute autre fonction analytique, n'a aucune importance dans les applications, parce que la valeur de notre fonction dcrroit si rapidement, pour peu que //A ail une valeur considérable, qu'on peut, cri tonte sûreté, la regarder al(jrs ctnnnie c(|uivalente à o. U ailleurs, la nature de la question ne permettra jamais d'assigner les limites des erreurs avec une i igucur absolue.

Au reste, la ronstarite // peut être regardée coinnu' scr-

vant de raesiiro à la précision des observations. Si en ellei la proLaLilité de Terreur A daus un système d'observations est exprimée par

et dans un autre système d'observations plus ou moins exactes que les premières par

la probabilité que daus une observation du premier système l'erreur soit comprise entre les limites — cJ et H- o, sera exprimée par

et de même la probabilité que l'erreur d'une observation du second système soit comprise entre les limites — à' et -\-à\ sera exprimée par

or ces intégrales sont manifestement égales loisqu'on a

la — h'è'.

Si , par exemple , on a

une erreur double dans le premier système sera commise aussi facilement qu'une erreur simple dans le second, de sorte que les dernières observations, pour nous servir d'une expression consacrée par l'usage , jouissent d'un degré de précision deux fois plus grand.

Voici maintenant quelques conséquences de celte loi. 11

est clair qu'il faul , pour que le produit

il =1 /^ 71 e

devienne maximum , que la somme

devienne minimum. Donc le système de valeurs des ijieounues/?, r/ ^ r, s , etc., le plus probable correspond au cas où les carrés des différences entre les valeurs observées et les valeurs calculées des fonctions \ ., \ ', ^ ", etc., donnent la somme la plus petite possible, pourvu que toutes les observations soient également présumées précises.

Ce principe, qui est de la plus grande utilité dans toutes les applications des mathématiques à la pliilosopliie naturelle, doit être regardé comme un axiome, au même titre que le principe qui nous fait adopter la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une même quantité comme la valeur la plus probable de cette quantité.

Le principe s étend sans peine au cas d'observations d'une précision inégale. Car si les précisions des observations par lesquelles on a trouvé

sont représentées respectivement par//, A', A", etc., c'està-dire si l'on suppose que des erreurs réciproquement proportionnelles à ces quantités puissent être commises avec la même facilité, il est clair que cela revient au même que si, pardesobservations d'une égalepiécision (représentée pan), l(,'s valeurs des fonctions /A , /t'V, h"\ ", etc., avaient été trouvées égales à AM, A'.M', h" M" ^ etc.; c'est ponnpioi le syslètne le plus probable de valeurs Av.f, «juaniiiés /;, (j ^ i\ s, etc., S(Ma celui on la somme

//'«' + //'•■(/•-+- //"^('"^-+-. . . , ccst-à-flire où la soninic ties carrés des dijjércncvs entre

les valeurs observées et calculées^ multipliés respectii^ement parles carrés des ?ioinhres qui expriment le degré de précision, devient un minimum. Par là, il n'est pas mêiue nécessaire que les fonctions V, V, V", etc., se rapportent à des quantités homogènes, mais elles pourront représenter des quantités hétérogènes (par exemple des secondes d'arcs et de temps) 5 pourvu que l'on puisse estimer le rapport des erreurs qui , dans chacune de ces grandeurs , peuvent être commises avec la même facilité.

Le principe exposé dans l'article précédent se recommande aussi par cela qu'il réduit le calcul numérique des inconnues à un algorithme très-expéditif , quand les fonctions V,V, V", etc., sont linéaires. Supposons

V — M =1 (f = — m ~\- a p -\- b q-\~cr-\-ds-\-...,

V —m'=:v'—.—m' + a'p-\-h'q-^-c'r-^cl's^..., V" — U" =v" =— m" + a"p -\-b" q^ c" r + d"s + . . . ,

Posons

bi,-^b'v' + b"i>" + ... = q,

ci> + c' v' + c" f" + . . . = R, di> + d'v' + d"v" +. . .= ^,

alors les v équations de l'art. 3, qui déterminent les valeurs des inconnues , seront

si nous supposons les observations également bonnes, cas auquel nous pouvons ramener tous les autres , comme nous l'avons montré dans l'article précédent. On a ainsi autant d'équations linéaires que d'inconnues : on les résoudra par la méthode ordinaire.

Voyons mainteuant si cette élimination est toujours possible ou si elle peut donner une valeur indéterminée ou impossible. Il résulte de la théorie de l'élimination que le second ou le troisième cas aura lieu si , en laissant de côté une des équations

ou peut déduire des équations conservées une équation identique ou contradictoire à celle que l'on a omise , ou , ce (pii revient au même, si l'on peut assigner une fonction linéaire

aP + pQ-hyR-|-...,

qui soit identiquement nulle ou qui ne contienne aucune des inconnues. Supposons donc que l'on ait

aPH- pQ + yR-f-. ..= x,

on a l'équation identique

(t' H- w) p -h (/ + m') v' H- [v" 4- in")v" -\- . . . = pV 4- yQ}- rR + jS 4-

Si l'on suppose qu'en faisant

p — <x.x, q=^x, r—-jx,,. ,

les fonctions ^, v\ v" , etc., deviennent respectivement

on aura l'équation identique

( V H- V' + >"' + . . ) X' - ( > /;/ -f- >/ m' + a" ni' +...)x-y.x.

et, par suite, V -f- a'^ 4- À"' - • 1 où lésulte

cl . p.ir suite .

c'esl-à-dire que les fonctions V, V, Y", etc., devraient ne pas changer si p,q,r,s, etc., reçoivent des accroissements quelconques proportionnels aux nombres a , (3 , y, d, etc. Un pareil cas, dans lequel la détermination des inconnues ne serait pas possible, même si l'on donnait les vraies valeurs des fonctions , n'appartient pas à notre sujet, comme nous en avons averti plus haut.

Au reste , on peut réduire facilement tous les cas à celui où les fonctions V, \ ', V, etc., sont linéaires. Désignons par t:, y^, p, <j, etc., des valeurs approchées des inconnues p, <7, /', s ^ etc. (que nous obtiendrons en faisant usage de v équations prises parmi les^. équations

V = IM , V' =r M' , V" = M" , . . . ) , et posons

il est clair que ces nouvelles inconnues seront si petites, que leurs carrés et leurs produits seront négligeables, et que les équations deviendront linéaires par suite des substitutions indiquées. Que si, à la fin du calcul, on trouve contre toute attente que les valeurs de p', ç', /'', 5', etc., qu'on en tire soient trop considérables, et qu'il paraisse peu sûr de négliger leurs carrés et leurs produits, on remédiera à cet inconvénient en répétant la même opération (mais en prenant pour 7., y., p, 7, etc., les valeurs corrigées de p,q, r.s.clc).

Tant qu'on n'a qu'une seule inconnue p, pour la détermination de laquelle on a trouvé que les fonctions

ap -+- n, a'p -f- «', n" p -f- «",... ,

prenaient respectivement les valeurs

et cela par des observations également exactes . la valeur la

plus probable de p est

am -\- n m -\- a m 4- . . •

en posant

Pour apprécier le degré de précision qu on doit attribuer à cette valeur, supposons que la probabilité d'une erreur û, commise dans les observations, soit exprimée par

Ji h-- S'-

il en résultera que la probabilité que la vraie valeur de p soit A -h/?', sera proportionnelle à la fonction

f,— h^ [{ap — m)' -i-{a'p— m'y -t- [a" p — m'y -h. . . ]

dans laquelle on aura fait

Ij'exposant de cette fonction peut être réduit à la foi me

— h"" a'' 4- a"'- -+- a""- -f-. . .) jr— ip\-\- B^,

dans laquelle \\ dési;;ne une quantité indépendante de /j : la fonction sera par suite proportiouiielle à

On voit que le degré de précision qu'il faut attribuer à la valeur de A est le même que si celte valeur avait été trouvée par une observation immédiate dont la précision serait à la [iiéeisioii des observations piiiiiilives conniie

h ^a- -+- fl'' -+- rt"' -H . . . est à //, ou coranie

\Vi' -h rt'' -f- rt"' -+- . . est à I .

Avaiitde reclicrclier, dans le cas de plusieurs inconnues , le degré de précision qu'on doit attribuer à chacune d'elles, il importe d'étudier plus attentivement la fonction

que nous désignerons par W.