MÉMOIRE SUU LA DÉTERMINATION DE LA PRÉCISION DES OBSERVATIONS
PAU M. GAISS.
(Extrait du Zcilschrijt fur Astronomie und Vcrwandir Wissenschqficii , tome I , page i8â.)
Pour établir les piineipes de la méthode des moindres carrés, nous avons .idniis (juc la probabilité (Tinje <'rreur
d'observation A soit exprimée par la formule
Vît
où t: représente la demi-circonférence, e la base des logarithmes hyperboliques, et h une constante que l'on peut considérer [^Thcoria Motus Corporwn cœlestiwn , art, 1^8 ('*')] comme la mesure de l'exactitude des observations. Il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de h pour déterminer, à l'aide de la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus probables des quantités dont les observations dépendent, le rapport de l'exactitude des résultats à l'exactitude des observations est également indépendant de h.
Toutefois, comme la connaissance de la quantité h est très-intéressante et instructive, je vais montrer comment les observations peuvent servir à la déterminer.
Commençons par quelques remarques qui éclaircirojit la question, et représentons par 0 (?) l'intégrale définie
Quelques valeurs particulières de cette fonction donneront
une idée de sa marche :
^ = 0,4769363 = p et = 0,5
?= o,5g5 1 161 = pX 1 ,24? 790 0^=0,6
t = 2,327 6754 — p X 4^880 475 et = 0,999
t = CO = Xi 0^= I
(*) Voyez page 1 19 de ce volume. l- I<.
( ^43 ) La probabilité que l'erreur d'une observation soit comprise dans les limites H- A et — A; ou, abstraction faite des signes, qu elle ne surpasse pas A , sera égale à
elle sera le double de l'intégrale en question , lorsque celleci est prise depuis x= o jusqu'à a: = A, et, par consécpient, elle sera égale à 0 (/« A).
Ainsi la probabilité que l'erreur ne soit pas moindre que
•T est ésale a -■> ou éiiale à la probabilité du cas contraire.
J'appellerai donc cette quantité j l'erreur probable , et je
la désignerai par /•.
Au contraire , la probabilité que Terreur excède rx 2,438 66"4 n'est que de ^ ; la probabilité que l'erreur surpasse rx 3, 818390 n'est que de ^70 5 ^^ ainsi de suite.
Supposons maintenant que les erreurs de m observations réellement faites soient a, |3, y, etc., et clierclions quelles conséquences on en peut tirer relativement aux valeurs de h et r.
En faisant deux hypothèses sur la valeur exacte de // , et la supposant égale à H ou égale à H', les probabilités qu'elles soient entachées des erreurs a, p , y, etc., seront, pour les deux cas, dans le rapport de
c'est-à-dire comme
jjm^,-!l'(a'-^-,VH -■/-(- ..) ^,^^.^ n'"' ,.- H'^ v.-*- ^3'h- /-+-..) ,
Il est é\idciit que le^ |>r<'babili(é^ (Hn- lion USoiciil les
( i44 ) véritables valeurs de /z, sont dans le même rapport [^Theoria Motus Corporum cœlostiwn , art. 176 (*)]•, par conséquent la probabilité d'une valeu*^ quelconque de h est proportionnelle à
et la valeur de h la plus probable est celle pour laquelle cette fonction devient un maximum. Mais on trouve par les règles connues que h est alors égal à
donc la valeur de r la plus probable sera alors
-hp'+f + ...)
ou
0,6744897 X \/^(='' + P'+ 7' + ---)- Ce résultat est général , que m soit grand ou petit.
11 est facile de comprendre que les valeurs trouvées pour h et pour r sont d'autant moins certaines que le nombie m est plus petit.
Développons maintenant le degré d'exactitude que Ton doit attribuer aux valevirs de h et de r lorsque m est un nombre considérable.
Désignons par H la valeur de h la plus probable que nous avons trouvée ,
et remarquons que la probabilité que H soit la véritable valeur de /^, est à la probabilité que (H + },) soit cette véri-
(*) Voyez paf[(! iifi do ce volume. J. B.
{ ^45 ) table valeur daus le rapport de
ou comme
Le second ternie ne sera sensible par rapport au premier que si — est une petite fraction , et, dans ce cas , nous pourrons remplacer le rapport indiqué par
Ce qui veut dire : La probabilité que la valeur véritable de /i soit comprise entre (H -h ?.] et (Il -f-X -|-r/X) est approximalivcnicnt égale à
Ke "' r/A, où K est une constante telle, que Tiiilégrale
prise entre les limites admissibles de X, devienne égale à runilé.
Comme dans le cas actuel, à cause de la grande valeur ;' m
de m , c devient excessivenu'iii petit lorsque — cesse
d'être une petiu; IVaelioii, il sera permis de prendre l'intégrale depuis — CO jusqu'il -f- oo , et l'on obtient
- = ii\/^-
Par conséquent , la piobabilité (jue la véritable valeur de h o. lo
soit comprise enlro (H — X)ct(H-f-^), sera égale à
et sera égale à - lors{[ue — V"^ = p-
Il y a donc un contre un à parier (jue la véritable valeur (le h soit entre
n(^-4=r\ et h(i-{- ^
ou que la véritable valeur de /■ soit entre
— et
où R désigne la valeur la plus probable de r trouvée dans l'article précédent. Ces limites peuvent s'appeler les limites prohahlcs des 'véritables 'valeurs de h et de r. 11 est évident que nous pourrons admettre ici pour limites probables de /' :
R ( i ^—\ et R ( I +
\l m J \ sjm
Dans la discussion précédente, nous avons considéré a, P, y, etc., comme des quantités définies et données, afin d'évaluer la probabilité que la véritable valeur de h ou de r soit comprise entre certaines limites.
On peut envisager la question sous un autre point de vue, en admettant que les erreurs des observations soient soumises à une loi déterminée de probabilité*, on peut alors évaluer la probabilité pour que la somme des carrés de ni erreurs d'observations tombe entre certaines limites. Laplace a déjà résolu ce problème dans le cas où m est un
( i47 ) nombre très-grand, ainsi que le problème de déterminer la probabilité que la somme de m erreurs d'observations tombe erjtrc certaines limites.
Il est facile de généraliser cette recherche; je me bornerai à indiquer ici le résultat.
Désignons par o (.r) la probabilité d'une erreur d'observation X , de manière que
çp X . (Ix = I .
Désignons encore par K„ la valeur de l'intégrale
j <f X .x" dx.
