PROBLÈME

Soit U une Jonction donnée des inconnues V, V, V", etc. ^ on demande l'erreur moyenne M à craindre dans la détermination de la valeur de U, lorsque, au lieu des véritables pudeurs de \, \', \", etc., on prend les valeurs déduites d'obseri'ations indépendantes les unes des autres j m, m', m", etc., étant les erreurs moyennes qui correspondent à ces diverses observations.

Solution. — Désignons par e, e', e", etc., les erreurs des valeurs observées V, \', \", etc.-, l'erreur qui en résultera , pour la valeur de la fonction U , pourra s'exprimer par la fonction linéaire

- ^ V v/ ' .-,,., d\3 dV d\]

ou /, A , A' , etc. , représentent les dérivées — — , ——■, -r-r,,i etc. ,

aV aV dy

lorsqu'on y remplace V, \', \ '', etc. , par leurs vraies valeurs. Cette valeur de E est évidente si l'on suppose les observations assez exactes pour que les carrés et les produits des irreurs soient négligeables. Il résulte de là que la valeur moyenne de E est nulle , puisque l'on suppose que les erreurs des observations n'ont plus de partie constante. Or Terreur moyenne M, à craindre dans la valeur de U, sera la racine carrée de la valeur moyenne de E^, c'est-à-dire que M^ sera la valeur moyenne de la somme

mais la valeur moyenne de X^c^ est l"m', celle de X'^e" est A'^m'", etc., enfin les valeurs moyennes des produits iXk' ee' sont toutes nulles 5 donc on aura

M = \IV nû -H V'/«" + V' M/"--i- . . . .

( ^7) 11 est bon d'ajouter plusieurs remarques à cette solution.

I. Puisqu'on néglige les puissances des erreurs qui sont ^supérieures à la première , nous pourrons , dans notre formule, prendre pour X, /', À", etc., les valeurs des coefficients

difiereutiels —-5 etc., déduites des valeurs observées V, \ '.

V", etc. Toutes les fois que U est une fonction linéaire, cette substitution est rigoureusement exacte.

II. Si , au lieu des erreurs moyennes, on préfère introduire les poids des observations, supposons que p 1 p' -, p" ^ etc., soient les poids respectifs, l'unité étant arbitraire, et P le poids de la valeur de U5 on aura

m. Soit T une autre fonction de V, V, V", etc. 5 posous

dN~~''' dy''~''"' dY'~ ''' '""

L'erreur commise surT, en adoptant pour V,\'',\", etc., les résultats fournis par l'observation, sera

y,c-\- y/ e' -h y." e" . . . =zE',

et l'erreur moyenne à craindre dans cette détermination sera

11 est évident que les erreurs E et E' ne seront pas indépendantes l'une de l'autre, et que la valeur moyenne du produit EE ne sera pas nulle comme la valeur moyenne de ee'; elle sera égale à

-/X ni^ •+- /.' >,' m" + /." \" m"- H- . . . .

IV. Le problème comprend le cas où les valeurs des quantités V, \', \", etc., ne sont pas données immédiatement par l'observation, mais sont déilui tes de combinaisons (pielconques d'observations directes. Pour que cette extension soit légitime , il faut <{ue les «léterminalions de ces quantités soient indépendantes , c'est-à-dire (luclles soient fournies

(a8) par des observations dilTérentes. Si celte condition cVindépendance n'était pas remplie, la formule qui donne la valeur de M ne serait plus exacte. Si , par exemple , une même observation était employée, à la fois, dans la détermination de V et dans celle de \ ', les erreurs e et e ne seraient plus indépendantes, et la valeur moyenne du produit ee' ne serait plus nulle. Si l'on connaît, dans ce cas , la relation qui lie V et \' aux résultats des observations simples dont ils dérivent, on pourra calculer la valeur moyenne du produit ee', comme il est indiqué dans la remarque III, et dès lors corriger la formule qui donnera M.

Soient V, V, \", etc., des fonctions des inconnues x, y^ z, etc. 5 soient xs le nombre de ces fonctions, p le nombre des inconnues 5 supposons que des observations aient donné, immédiatement ou médiatement, L, L', L", etc., pour valeurs des fonctions V, V, \", etc., de manière cependant que ces déterminations soient absolument indépendantes les unes des autres. Si p est plus grand que nr, la recberclie des inconnues est un problème indéterminé. Si p = cy, cbacune des inconnues x^ y, z, etc., peut être regardée comme calculée en fonction de V, V, \", etc. ; de sorte que les valeurs des premières peuvent être déduites des valeurs observées de ces dernières, et l'article préc édent nous permettra de calculer la précision relative de ces diverses déterminations. Si p est plus petit que C7, chaque inconnue x, y, z, etc., pourra être exprimée d'une infinité de manières, en fonction de V, \ ', \", etc., et, en général, ces valeurs seront différentes; elles devraient coïncider si les observations étaient, contrairement à nos hypothèses, dune exactitude rigoureuse. 11 est clair, d'ailleurs, que les diverses combinaisons fournissent des résultats dont la précision sera, en général, diiïerenie.

D'ailleurs si, dans le deuxième et le troisième cas, les quantités V, V, V", etc., sont telles que vs — p + ï d'entre

elles, ou davantage, puissent être regardées comme des fonctions des autres, le problème est plus que déterminé relativement à ces dernières fonctions et indéterminé relativement aux inconnues ±, y, z, etc. -, et Ton ne pourrait même pas déterminer ces dernières inconnues, quand bien même les fonctions V, \ ', \ ", etc., seraient exactement connues : mais nous excluons ce cas de nos recherches.

Si y, ^ ', ^ ", etc., ne sont pas des fonctions linéaires des inconnues, on pourra toujours leur attribuer cette forme, en remplaçant les inconnues primitives par leur différence avec leurs valeurs approchées, que l'on suppose connues; les erreurs moyennes à craindre dans les déterminations V=:L, V' = L', Y"=V',...

étant désignées respectivement par m, in\ m", etc., et les poids de ces déterminations, pur p,p', p", etc , de telle sorte que

pm^ =zp' m'- = p" m"- ■=.....

Nous supposerons connus les rapports des erreurs moyennes ainsi que les poids, dont 1 un sera pris arbitrairement. Si nous posons enfin

(V -\.)fp = V, (V - L') V? = '■', . . -, les choses se passeront ensuite comme si des observations immédiates, également précises et dont l'erreur movenne aurait pour valeur m ^p , avaient donné